Prawdopodobieństwo całkowite - osoba z hemofilią

[LMForward]

Z badan genealogicznych wynika, ze kobieta jest nosnikiem hemofilii z prawdopodobienstwem
p. Jezeli kobieta jest nosnikiem hemofilii, to kazdy jej syn dziedziczy te chorobe
z prawdopodobienstwem 0,5. Kobieta, która nie jest nosnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów.
Obliczyc prawdopodobienstwo, ze a) pierwszy syn bedzie zdrowy; b) drugi syn bedzie zdrowy,
jesli pierwszy syn jest zdrowy, c) kobieta nie jest nosnikiem hemofilii, jesli dwaj pierwsi synowie
sa zdrowi.

\(\displaystyle{ A_{1}}\) - kobieta nosicielką hemofilii \(\displaystyle{ =p}\)
\(\displaystyle{ A_{2}}\) - kobieta nie jest nosicielką hemofilii \(\displaystyle{ =1-p}\)

i co dalej?

[a4karo]

To na razie nic nie zrobiłeś. Pokaż swoje próby rozwiązania

[LMForward]

a) \(\displaystyle{ B _{1} =(1-p) \cdot 0,5}\)
b) \(\displaystyle{ P(B _{2} |B _{1})}\)? \(\displaystyle{ B_{2}=}\)?

[a4karo]

No to dalej już tylko tak: \(\displaystyle{ P(C_1)P(B_1|C_2)=p(1-p)\cdot 0.25}\), \(\displaystyle{ P(D_{42})=1-P(E_7)}\)

To oczywiście żart. Myślisz, że ktoś zgadnie czym jest \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ B_2}\)?

[janusz47]

Na przykład c)

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie " kobieta ma dwóch zdrowych synów".

\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie " kobieta jest nośnikiem hemofilii".

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

\(\displaystyle{ P(B^{c}|A) = \frac{P(B^{c} \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B^{c} \cap A)}{P(B^{c} \cap A)+ P(B \cap A)}.}\)

\(\displaystyle{ P(B^{c} \cap A)= P(B^{c})\cdot P(A|B^{c}) = (1- p)\cdot 1 = (1-p)}\)

\(\displaystyle{ P(B \cap A) = P(B)\cdot P(A|B) = p\cdot \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ P(B^{c}|A) = \frac{1 - p }{1- p +\frac{1}{4}p}= \frac{1 - p}{1 -\frac{3}{4}p}.}\)

Jeżeli zdrowi są dwaj synowie (nie są roznosicielami hemofili), to należy spodziewać się w \(\displaystyle{ \frac{1 - p}{1 -\frac{3}{4}p} \cdot 100\%}\) ogólnej liczby przypadków, że ich matka też nie jest roznosicielką tej choroby.