Witam,
jak wyznaczyć \(\displaystyle{ EX}\) w przypadku funkcji, w której prawdopodobieństwo sukcesu rośnie z każdą kolejną próbą?
Funkcja prawdopodobieństwa ma postać:
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1- \frac{0,999}{k}) \cdot ( \frac{ 0,999^{k-1} }{(k-1)!})}\)
gdzie \(\displaystyle{ 1- \frac{0,999}{k}}\) to prawdopodobieństwo sukcesu.
Wartość oczekiwana
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wartość oczekiwana
Rozumiem, że \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\).
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)= \sum_{k=1}^{+\infty} k\left( 1- \frac{0,999}{k} \right) \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}= \sum_{k=1}^{+\infty} k\cdot \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}-0,999 \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}}\)
Ta druga suma się zwija do \(\displaystyle{ 0,999\exp(0,999)}\), a tę pierwszą można załatwić np. tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+\infty} k\cdot \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}= \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)\cdot \frac{0,999^k}{k!}= \sum_{k=0}^{+\infty}k\cdot \frac{0,999^k}{k!}+ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{0,999^k}{k!}=\\=0,999\sum_{k=1}^{+\infty}k\cdot \frac{0,999^{k-1}}{k!}+ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{0,999^k}{k!}=\\=(0,999+1)\exp(0,999)}\)
i już łatwo, końcowy wynik to chyba właśnie \(\displaystyle{ \exp(0,999)}\).-- 10 gru 2017, o 23:25 --Jak ktoś zna trochę rozkładów prawdopodobieństwa, konkretnie rozkład Poissona, to można szybciej:
gdy \(\displaystyle{ X \sim \mathbf{Poiss}(\lambda), \ \lambda>0}\), to
\(\displaystyle{ \lambda=\mathbf{E}(X)= \sum_{k=0}^{ \infty } k e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}}\)
i z tym można pokombinować. Ale obliczenia, które do tego rezultatu prowadzą, są podobne jak tu.
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)= \sum_{k=1}^{+\infty} k\left( 1- \frac{0,999}{k} \right) \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}= \sum_{k=1}^{+\infty} k\cdot \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}-0,999 \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}}\)
Ta druga suma się zwija do \(\displaystyle{ 0,999\exp(0,999)}\), a tę pierwszą można załatwić np. tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+\infty} k\cdot \frac{0,999^{k-1}}{(k-1)!}= \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)\cdot \frac{0,999^k}{k!}= \sum_{k=0}^{+\infty}k\cdot \frac{0,999^k}{k!}+ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{0,999^k}{k!}=\\=0,999\sum_{k=1}^{+\infty}k\cdot \frac{0,999^{k-1}}{k!}+ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{0,999^k}{k!}=\\=(0,999+1)\exp(0,999)}\)
i już łatwo, końcowy wynik to chyba właśnie \(\displaystyle{ \exp(0,999)}\).-- 10 gru 2017, o 23:25 --Jak ktoś zna trochę rozkładów prawdopodobieństwa, konkretnie rozkład Poissona, to można szybciej:
gdy \(\displaystyle{ X \sim \mathbf{Poiss}(\lambda), \ \lambda>0}\), to
\(\displaystyle{ \lambda=\mathbf{E}(X)= \sum_{k=0}^{ \infty } k e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}}\)
i z tym można pokombinować. Ale obliczenia, które do tego rezultatu prowadzą, są podobne jak tu.