nieskorelowane przyrosty dla martyngału

[joogurcik]

Wykaż, że każdy gaussowski martyngał na ˙[0, T] jest całkowalnym z kwadratem martyngałem
o przyrostach niezaleznych.


Niech u nas \(\displaystyle{ (M_{t})}\) to gaussowski martyngał.
Skoro jest gaussowski to zachodzi nieskorelowane \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) niezależne.
Zatem należy pokazać ze kowariancja przyrostów jest równa 0.

Jak to zapisac?

[Spektralny]

Zakładając, że mamy do czynienia z naturalną filtracją, która jest (prawostronnie) ciągła, rozważany martyngał \(\displaystyle{ M = (M_t)_{0\leqslant t\leqslant T}}\) ma prawostronnie ciągłą modyfikację. (Zobacz dowód ). Dla takich martyngałów całkowalność z kwadratem jest równoważna temu by

• \(\displaystyle{ \sup_t \mathsf E M_t^2}\)

było skończone (

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Doob%27s_martingale_convergence_theorems

). Z gaussowskości procesu i ograniczoności zbioru indeksów (\(\displaystyle{ T<\infty}\)) wnosimy, że ów warunek jest tu spełniony.

Wykażemy, że \(\displaystyle{ T}\) ma ortogonalne przyrosty. Ustalmy w tym celu indeksy \(\displaystyle{ 0\leqslant s<t \leqslant T}\). Z całkowalności z kwadratem wynika istnienie warunkowych wartości oczekiwanych postaci \(\displaystyle{ \mathsf E [M_s M_t | \mathcal F_s]}\). Mamy zatem

• \(\displaystyle{ \mathsf E M_s M_t = \mathsf E \mathsf E [M_s M_t | \mathcal F_s] =\mathsf E M_s \mathsf E[M_t | \mathcal F_s]=\mathsf E [M_s^2],}\)

przy czym przedostatnia równość wynika bezpośrednio z tego, że \(\displaystyle{ M}\) jest martyngałem. Spójrzmy jednak na kowariancję:

• \(\displaystyle{ \mathsf{cov}[M_s,M_t]=\mathsf E [M_s M_t]-\mathsf E [M_s]\mathsf E [M_t]=\mathsf E [M_s^2]-(\mathsf E M_s)^2=\mathsf{var}[M_s],}\)

tj. nie zależy ona od \(\displaystyle{ t}\) (w przedostatniej równości użyliśmy faktu, że martyngały mają stałą wartość oczekiwaną). Możemy teraz przejść do dowodu nieskorelowanych przyrostów (co z gaussowskości procesu będzie implikowało ich niezależność).

Dla \(\displaystyle{ 0\leqslant s_1 \leqslant s_2 \leqslant s_3 \leqslant s_4\leqslant T}\) mamy

• \(\displaystyle{ \mathsf{cov}[M_{s_1}, M_{s_3}-M_{s_2}] = \mathsf{cov}[M_{s_1}, M_{s_3}] - \mathsf{cov}[M_{s_1}, M_{s_2}] = \mathsf{var}[M_{s_1}] - \mathsf{var}[M_{s_1}] = 0}\)

oraz

• \(\displaystyle{ \mathsf{cov}[M_{s_2} - M_{s_1}, M_{s_4}-M_{s_3}] = \mathsf{cov}[M_{s_2}, M_{s_4}-M_{s_3}] - \mathsf{cov}[M_{s_1}, M_{s_4}-M_{s_3}] =0,}\)

co kończy dowód