Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będązmiennymi losowymi. Istnienie funkcji
borelowsko mierzalnej \(\displaystyle{ f}\), takiej że \(\displaystyle{ Y = f(X)}\) jest równoważne: \(\displaystyle{ \sigma(Y) \subset \sigma(X)}\)
zawieranie sigma ciał
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: zawieranie sigma ciał
Mamy
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}\sigma(Y)& = & \sigma(\{Y^{-1}\colon B\in {\rm Borel}(\mathbb R) \}) \\
&=& \sigma(\{(f(X)^{-1}\colon B\in {\rm Borel}(\mathbb R) \}) \\
&=& \sigma(\{X^{-1}[f^{-1}]\colon B\in {\rm Borel}(\mathbb R) \}) \\
& \subseteq & \sigma \{ X^{-1} [C ]]\colon C\in {\rm Borel}(\mathbb R)\}\\
& = & \sigma (X). \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}\sigma(Y)& = & \sigma(\{Y^{-1}\colon B\in {\rm Borel}(\mathbb R) \}) \\
&=& \sigma(\{(f(X)^{-1}\colon B\in {\rm Borel}(\mathbb R) \}) \\
&=& \sigma(\{X^{-1}[f^{-1}]\colon B\in {\rm Borel}(\mathbb R) \}) \\
& \subseteq & \sigma \{ X^{-1} [C ]]\colon C\in {\rm Borel}(\mathbb R)\}\\
& = & \sigma (X). \end{array}}\)