Matematyka.pl

Rozważmy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ Y}\),\(\displaystyle{ Y= \left\{ X \le x \right\}}\),
przez \(\displaystyle{ \sigma(X)}\) rozumiemy sigma algebrę generowaną przez zmienną losową \(\displaystyle{ X}\). Proszę pokazać, że \(\displaystyle{ \sigma(X)=\sigma(Y)}\)

jakieś pomysły?

Trzeba pokazać zawieranie w dwie strony

Pamiętam ze studiów że przedział \(\displaystyle{ (-\infty, x]}\) jest borelowski a zbiór takich przedziałów generuje sigma ciało zbiorów borelowskich. Definicja sigma ciała generowanego przez zmienną losową jest sformułowana jako sigma ciało generowane przez przeciwobrazy \(\displaystyle{ X}\) dla zbiorów borelowskich.