Absurdalne wartości wariancji mi wychodzą, co robię źle

[Marcgal]

Zadanie:

Profesor Makary ma za zadanie opracować algorytm obliczający wartość sumy \(\displaystyle{ x_1^2+\cdots+x_n^2}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1,\cdots,x_n\in\mathbb{N}}\) (choćby w przybliżeniu) za pomocą możliwie małej liczby mnożeń.

Profesor rozważa obliczenie wartości \(\displaystyle{ \left(\pm x_1\pm\cdots\pm x_n\right)^2}\) (tylko jedno mnożenie), w którym znak przy licznie \(\displaystyle{ x_i}\) jest plusem z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac12}\) niezależnie od pozostałych znaków. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe wielkości obliczanej przez algorytm profesora. Jakie wartości mają te liczby dla \(\displaystyle{ x_1=x_2=\cdots=x_n}\)?

Wychodzą mi absurdalne wartości

Po kolei. Niech \(\displaystyle{ X_i = \begin{cases}x_i&\text{pr.}\ \frac12\\-x_i&\text{pr.}\ \frac12\end{cases}}\)

Wówczas:

\(\displaystyle{ \mathrm{E}X_i=0}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X_i\right)^2=x_i^2}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X_i\right)^3=0}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X_i\right)^4=x_i^4}\)

Teraz niech \(\displaystyle{ X=\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2}\)

Szukamy \(\displaystyle{ \mathrm{E}X}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{E}X = \mathrm{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 = \mathrm{E}\left(\sum_{i,j=1}^nX_iX_j\right)=\sum^n_{i,j=1}\mathrm{E}\left(X_iX_j\right)}\)

W tej sumie wyrazy dla \(\displaystyle{ i\neq j}\) będą równe zero, bo zmienne \(\displaystyle{ X_i,X_j}\) niezależne, a więc \(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X_iX_j\right)=\left(\mathrm{E}X_i\right)\left(\mathrm{E}X_j\right)=0}\)

Natomiast dla \(\displaystyle{ i=j}\) mamy \(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X_iX_j\right)=\mathrm{E}\left(X_i^2\right)=x_i^2}\)

Tak więc \(\displaystyle{ \mathrm{E}X=\sum_{i=1}^nx_i^2}\)

Rozsądny wynik, ale wariancja już się kaszani. \(\displaystyle{ \mathrm{Var}X=\mathrm{E}\left(X^2\right)-\left(\mathrm{E}X\right)^2}\)

Liczymy \(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X^2\right)}\):

\(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X^2\right)=\mathrm{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2\right)^2=\mathrm{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^4=\mathrm{E}\left(\sum_{i,j,k,l=1}^nX_iX_jX_kX_l\right)=\sum_{i,j,k,l=1}^n\mathrm{E}\left(X_iX_jX_kX_l\right)}\)

Tak jak wyżej, w tej sumie niezerowe będą tylko i wył. wyrazy o wszystkich potęgach parzystych, a więc ta suma wynosi: \(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X^2\right)=\sum_{i,j,k,l=1}^n\mathrm{E}\left(X_iX_jX_kX_l\right)=\sum_{i,j=1}^nx_i^2x_j^2}\)

Liczymy \(\displaystyle{ \left(\mathrm{E}X\right)^2}\):

\(\displaystyle{ \left(\mathrm{E}X\right)^2=\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^2=\sum_{i,j=1}^nx_i^2x_j^2}\)

Lol, a zatem \(\displaystyle{ \mathrm{Var}X=\sum_{i,j=1}^nx_i^2x_j^2-\sum_{i,j=1}^nx_i^2x_j^2=0}\)!!!

Stąd też \(\displaystyle{ \mathrm{Sd}X=\sqrt{\mathrm{Var}X}=0}\)

Przecież to ABSURD. Nie uwierzę, że zmienna \(\displaystyle{ X}\) jest stała.

Jednak błędu nigdzie nie mogę znaleźć. Co robię źle?

[janusz47]

\(\displaystyle{ X = X_{1} +X_{2}+...+X_{n},}\)

\(\displaystyle{ X^2 = (X_{1} +X_{2}+...+X_{n})^2.}\)

Zastosuj równość

\(\displaystyle{ X^2 = \sum_{i=1}^{n}X^2_{i} + 2\sum_{i<j} X_{i}\cdot X_{j}}\)

i uwzględniając niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,...,n}\) i liniowość wartosci oczekiwanej, oblicz

\(\displaystyle{ E(X^2_{i}) , \ \ E(X_{i}E_{j})= E(X_{i})\cdot E(X_{j}), \ \ i<j.}\)

Liczba par \(\displaystyle{ (i, j): i< j}\) jest równa \(\displaystyle{ {n\choose 2}.}\)

[Marcgal]

No przecież to właśnie robię, co napisałeś.

\(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X_i^2\right)=x_i^2}\)

Natomiast dla \(\displaystyle{ i\neq j}\) mamy \(\displaystyle{ \mathrm{E}\left(X_i\right)\cdot\mathrm{E}\left(X_j\right)=0}\)

Dzięki za chęć pomocy, ale gdybym mógł prosić, przeczytaj, co napisałem, OK?

Tak właśnie robię jak piszesz i mi wariancja wychodzi piękne okrągłe \(\displaystyle{ 0}\), a to absurd przecież.

[janusz47]

\(\displaystyle{ E(X^2) = n\cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 2\cdot \frac{ n\cdot (n-1)}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{1}{4} n^2 +\frac{1}{4} n.}\)