Rozkład wykładniczy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
funny4114
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 2 gru 2016, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nvm
Podziękował: 5 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: funny4114 »

Witam. Dlaczego w zadaniu o treści:

"Pewne urządzenie składa się z dwóch elementów pracujących niezależnie od siebie połączonych równolegle. Czas bezawaryjnej pracy (w godz.) każdego z nich jest zmienną losową o tym samym rozkładzie wykładniczym o gęstości:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0,1e ^{-0,1x} &\mbox{dla }x \ge 0 \\ 0 &\mbox{poza tym przedziałem}. \end{cases}}\)

Obliczyć prawdopodobieństwo, że urządzenie będzie działało co najmniej przez 20 godzin."

prawdopodobieństwo muszę wyliczyć w sposób (1):
\(\displaystyle{ P(Y \ge 20)=1-P( X_{1}<20) \cdot P( X_{2}<20)}\)
przy czym\(\displaystyle{ X _{1},X _{2}}\) to zmienne losowe odzwierciedlające czas bezawaryjnej pracy kolejno pierwszego i drugiego elementu,
a nie w sposób (2):
\(\displaystyle{ P(Y \ge 20)=P( X_{1} >20) \cdot P( X_{2} >20)}\) ?

Wg moich obliczeń wynik różni się zależnie od sposobu, przy czym wynik z karty odpowiedzi w książce odpowiada rezultatowi osiągniętemu przy korzystaniu ze sposobu pierwszego.
Proszę o wyjaśnienie.
Ostatnio zmieniony 3 gru 2017, o 01:19 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: SlotaWoj »

Żeby urządzenie przestało działać przed upływem \(\displaystyle{ 20\text{ h}}\) , to oba jego elementy muszą ulec uszkodzeniu przed upływem tego czasu, a prawdopodobieństwo tego jest równe \(\displaystyle{ P(X_1<20)\cdot P(X_2<20)}\) . W związku z tym, skoro nie ma przestać działać, to pierwszy wzór (prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego).

Drugi wzór nie jest odpowiedni do tematu tego zadania, bo przedstawia on prawdopodobieństwo tego, że żaden z elementów urządzenia nie uległ uszkodzeniu przed upływem \(\displaystyle{ 20\text{ h}}\) , a przecież jeden (i tylko jeden) może ulec uszkodzeniu i urządzenie nadal będzie działało.
funny4114
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 2 gru 2016, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nvm
Podziękował: 5 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: funny4114 »

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie.
ODPOWIEDZ