Rzuty monetą
-
splinter
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 19 lut 2016, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Borusławice
- Podziękował: 13 razy
Rzuty monetą
Jaś i Małgosia rzucają monetami: Jaś rzuca \(\displaystyle{ n}\) razy, a Małgosia \(\displaystyle{ n+1}\) razy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Małgosi wypadnie więcej orłów niż Jasiowi?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rzuty monetą
Zdarzenie losowe polega na n- krotnym rzucie Jasia i na (n+1) krotnym rzucie Małgosi - na przemian uczciwą, symetryczną monetą.
Doświadczenie losowe modelujemy rozkładem Bernoulliego \(\displaystyle{ \mathcal{B}(n,k).}\)
Prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ k}\) orłów w n rzutach monetą wynosi:
\(\displaystyle{ p(n, k) = {n\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}= {n\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.}\)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie " Małgosi wypadnie więcej orłów niż Jasiowi".
W celu zastosowania zasady odbicia Andre's - rozpatrujemy zdarzenie przeciwne
\(\displaystyle{ \overline{A}}\) " Małgosi wypadnie więcej reszek niż Jasiowi".
Liczba reszek \(\displaystyle{ r}\) musi być większa od liczby orłów \(\displaystyle{ o}\), więc
\(\displaystyle{ n+1 \leq r\leq 2n+1}\)
i liczba uzyskanych reszek przewyższająca liczbę uzyskanych orłów wynosi:
\(\displaystyle{ \sum_{r= n+1}^{2n+1} \left[ {2n+1\choose r} - {2n+1\choose r+1}\right] = {2n+1 \choose n +1}.}\)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) wynosi:
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{{2n+1 \choose n +1}}{2^{2n+1}}.}\)
Doświadczenie losowe modelujemy rozkładem Bernoulliego \(\displaystyle{ \mathcal{B}(n,k).}\)
Prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ k}\) orłów w n rzutach monetą wynosi:
\(\displaystyle{ p(n, k) = {n\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}= {n\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.}\)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie " Małgosi wypadnie więcej orłów niż Jasiowi".
W celu zastosowania zasady odbicia Andre's - rozpatrujemy zdarzenie przeciwne
\(\displaystyle{ \overline{A}}\) " Małgosi wypadnie więcej reszek niż Jasiowi".
Liczba reszek \(\displaystyle{ r}\) musi być większa od liczby orłów \(\displaystyle{ o}\), więc
\(\displaystyle{ n+1 \leq r\leq 2n+1}\)
i liczba uzyskanych reszek przewyższająca liczbę uzyskanych orłów wynosi:
\(\displaystyle{ \sum_{r= n+1}^{2n+1} \left[ {2n+1\choose r} - {2n+1\choose r+1}\right] = {2n+1 \choose n +1}.}\)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) wynosi:
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{{2n+1 \choose n +1}}{2^{2n+1}}.}\)