Twierdzenie Bayesa

[cis123]

Profesor Makary wspomina swoją wycieczkę z miasta \(\displaystyle{ 0}\) do miasta \(\displaystyle{ 2n}\) przez miasta \(\displaystyle{ 1,2,3,...2n-1}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Podczas tej wycieczki profesor przemieszczał się do kolejnego miasta losowo pociągiem lub samolotem. Na każdym dworcu lub lotnisku, z którego korzystał, profesor kupował pamiątkę. Profesor pamięta, że n odcinków zostało pokonanych samolotem oraz że ma pamiątkę z lotniska w mieście \(\displaystyle{ n}\). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że profesor ma pamiątkę z lotniska w mieście \(\displaystyle{ n+1}\)?



To zadanie wygląda jakby trzeba było użyć twierdzenia bayesa.

Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) będzie zmienną losową mówiącą, że profesor kupił pamiątkę na lotnisku w mieście i-tym jeśli \(\displaystyle{ X_{i} = 1}\) lub na dworcu jeśli \(\displaystyle{ X_{i} = 0}\).
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową oznaczającą liczbę kupionych pamiątek na lotnisku.

Mamy:
\(\displaystyle{ X = X_{1} + ... + X_{2n}}\)

Musimy policzyć \(\displaystyle{ P \left( X_{n+1} = 1 | X = n \wedge X_{n} = 1 \right)}\).
Korzystając z twierdzenia Bayesa mamy:
\(\displaystyle{ P \left( X_{n+1} = 1 | X = n \wedge X_{n} = 1 \right) = \frac{P \left( X = n \wedge X_{n} = 1 | X_{n+1} = 1 \right) \cdot P \left( X_{n+1} = 1 \right) }{\sum_{i=0}^{1}P \left( X = n \wedge X_{n} = i | X_{n+1} = 1 \right) \cdot P \left( X_{n+1} = 1 \right) }}\)

\(\displaystyle{ P \left( X = n \wedge X_{n} = 1 | X_{n+1} = 1 \right) \cdot P \left( X_{n+1} = 1 \right) = {2n-1 \choose n-2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \cdot \frac{1}{2} = {2n-1 \choose n-2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{2n}}\)

\(\displaystyle{ P \left( X = n \wedge X_{n} = 0 | X_{n+1} = 1 \right) \cdot P \left( X_{n+1} = 1 \right) = {2n-1 \choose n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \cdot \frac{1}{2} = {2n-1 \choose n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{2n}}\)

Teraz jak to podstawimy do wzoru to wyjdzie:
\(\displaystyle{ P \left( X_{n+1} = 1 | X = n \wedge X_{n} = 1 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n}}\)

Ale dla \(\displaystyle{ n = 2}\) mamy \(\displaystyle{ 0}\) więc wynik jest niepoprawny Może ktoś powiedzieć gdzie postępuję źle?