Wartość oczekiwana

[cis123]

Wrzucamy losowo \(\displaystyle{ n}\) kul do \(\displaystyle{ n}\) urn. Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) będzie liczbą urn w i-tej urnie.

Oblicz \(\displaystyle{ E[X_{1}^{2} + ... + X_{n}^{2}]}\).


Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ E[X_{1}^{2} + ... + X_{n}^{2}] = E(X_{1}^{2}) + ... + E(X_{n}^{2})}\)
\(\displaystyle{ X_{i} \sim Binom(n, \frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ E(X_{i}) = 1}\)

Natomiast nie potrafię wyznaczyć \(\displaystyle{ E(X_{i}^{2})}\). Pomoże ktoś?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}k^2n^{-k}= \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}k(k-1+1){ n \choose k}= \sum_{k=1}^{n}k(k-1){n \choose k}n^{-k}+ \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}n^{-k}=\\=\sum_{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}n^{-k}+ \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}n^{-k}}\)

Teraz zastosuj takie tożsamości:
\(\displaystyle{ k(k-1){n \choose k}=n(n-1){n-2 \choose k-2}\\k{n \choose k}=n{n-1\choose k-1}}\)
a otrzymasz
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}n^{-k}+ \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}n^{-k}=\\=n(n-1)n^{-2} \sum_{k=2}^{n}{n-2\choose k-2}n^{-(k-2)}+n\cdot n^{-1} \sum_{k=1}^{n}{n-1\choose k-1}n^{-(k-1)}}\)
i to zwinąć ze wzoru dwumianowego Newtona.

[cis123]

Zapomniałeś o \(\displaystyle{ (1 - \frac{1}{n})^{n-k}}\) na początku

[Premislav]

Rzeczywiście, sorry, ale idei rozwiązania to nie zmienia. Wystarczy wszędzie podopisywać te
\(\displaystyle{ \left( 1-\frac 1 n\right)^{n-k}}\).
Na końcu i tak korzystamy ze wzoru dwumianowego. Pod koniec dostaniemy coś takiego:
\(\displaystyle{ n(n-1)n^{-2} \sum_{k=2}^{n}{n-2\choose k-2}n^{-(k-2)}\left( 1-\frac 1 n\right)^{(n-2)-(k-2)}+n\cdot n^{-1} \sum_{k=1}^{n}{n-1\choose k-1}n^{-(k-1)}\left( 1-\frac 1 n\right)^{(n-1)-(k-1)}}\)
a to już dwa razy wzór dwumianowy i koniec. No i dodać potem \(\displaystyle{ n}\) takich.-- 1 gru 2017, o 21:29 --Ostatecznie wyszło mi
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X_{1}^{2} + ... + X_{n}^{2}]=2n-1}\)

[janusz47]

Sposób pierwszy

Wykorzystaj funkcję tworzącą momenty:

\(\displaystyle{ f(\xi) = E(\xi^{X_{i}})}\)

\(\displaystyle{ f(\xi)= \sum_{k=0}^{n} \xi^{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}= (1 - p -\xi\cdot p)^{n}}\)

\(\displaystyle{ E(X_{i}^2) = \sum_{k=0}^{n}k^2\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}= f'(1)+f^{''}(1)= np +n(n-1)p^2.}\)


Sposób drugi

Wykorzystaj równość:

\(\displaystyle{ Var(X_{i}) = n\cdot p\cdot (1-p) = E(X^2_{i}) - [E(X_{i})]^2.}\)

Sposób trzeci

Skorzystaj z własności addytywności wartości oczekiwanej:

\(\displaystyle{ E(X_{i}^2) = E[X_{i}\cdot (X_{i} - 1) +X_{i}] = E(X_{i}\cdot (X_{i}-1)] + E(X_{i}),}\)

wykazując, że \(\displaystyle{ E[X_{i}\cdot (X_{i} - 1)] = n(n-1)p^2.}\)


\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}E(X^2_{i}) = n\cdot \left[n\cdot p +n\cdot (n-1)\cdot p^2 \right ]= n\cdot\left [n \cdot \frac{1}{n} +n\cdot (n-1)\cdot \frac{1}{n^2}\right ]=\\ n\cdot \left [ 1+1 -\frac{1}{n}\right] = 2n - 1.}\)