Wybieramy losową osobę \(\displaystyle{ X}\) i okazuje się, że \(\displaystyle{ X}\) ma trójkę rodzeństwa, w tym (co najmniej jedną) starszą siostrę.
A) Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X}\) jest dziewczynką?
B) Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie najstarsze dziecko w tej rodzinie jest dziewczynką?
C) Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X}\) jest najmłodszym dzieckiem w tej rodzinie?
D) Niech A, B, C oznaczają powyższe zdarzenia. Które z par (A, B), (A, C), (B, C) są niezależne?
Uwaga: w tym zadaniu przyjmujemy, że przy każdym urodzeniu zdarzenia rodzi się chłopiec i rodzi się dziewczynka mają takie same prawdopodobieństwa równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (nie uwzględniamy możliwości urodzenia się bliźniaków itp.), i zdarzenia te są niezależne od tego, jakie dzieci urodziły się wcześniej.
A)
Niech \(\displaystyle{ Y}\) oznacza zdarzenie mówiące, że \(\displaystyle{ X}\) ma trójkę rodzeństwa, w tym (co najmniej jedną) starszą siostrę.
Niech \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zdarzenie mówiące, że \(\displaystyle{ X}\) jest dziewczynką
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(Z | Y) = \frac{P(Z \cap Y)}{P(Y)}}\)
natomiast zdarzenia \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne z założenia zawartego w uwadze, więc mamy:
\(\displaystyle{ P(Z | Y) = \frac{P(Z) \cdot P(Y)}{P(Y)} = P(Z) = \frac{1}{2}}\)
Czy podpunkt a jest dobrze?
Jakieś pomysły co do pozostałych podpunktów? (W C przychodzi mi do głowy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\))