Określić rozkład zmiennych.

[pawlo392]

Mamy kwadrat jednostkowy \(\displaystyle{ [0,1]^2}\). Zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym, niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza pierwszy wylosowany punkt (pierwszą współrzędną), natomiast \(\displaystyle{ Y}\) drugą.Określić rozkład zmiennych \(\displaystyle{ 2X-1}\), \(\displaystyle{ X+Y}\), \(\displaystyle{ Y^2}\)

[Premislav]

Rzuty mają rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) i wystarczy \(\displaystyle{ 2X-1}\) oraz \(\displaystyle{ Y^2}\) „zaatakować" od strony dystrybuanty.
\(\displaystyle{ X+Y}\) trochę ciekawsze, można napisać coś takiego:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y \le t)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(x+y\le t) \,\dd x \,\dd y}\)-- 29 lis 2017, o 00:58 --To może trochę dopiszę:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y \le t)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(x+y\le t) \,\dd x \,\dd y}\)
ale nie ma potrzeby tego dalej liczyć całkami. Narysuj sobie to. Kwadrat jeden na jeden i pęk prostych \(\displaystyle{ x+y=t}\) przechodzący przez tenże kwadrat. Prostymi swego rodzaju „granicznymi" (co powinieneś wywnioskować ze swojego rysunku - sorry, ale nie śmigam w TiKZ) będą \(\displaystyle{ x+y=0}\) (pierwsza, która w ogóle osiąga Twój kwadrat), \(\displaystyle{ x+y=1}\) (dzieli na dwa istotne przypadki, w których się inaczej liczy, dla tego i mniejszych wyrazów wolnych masz trójkąt, a dla większych trójkąt sklejony z trapezem), \(\displaystyle{ x+y=2}\) (powyżej już nie dotykają).
Pola liczysz jak w gimnazjum (jeśli chodziłeś do gimnazjum). Pzdr