Zadania z probabilistyki

[kaczor58]

Witam. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu trzech zadań z probabilistyki.

Zadanie 1.
Intensywność uszkodzeń aparatu fotograficznego ogólnie dostępnego zwiększa się wprost proporcjonalnie do czasu eksploatacji i wynosi \(\displaystyle{ \lambda(t)=at,\ a=0,0000124,\ t \ge 0}\) (czas mierzony jest w dobach). Znajomość tego faktu można zastosować do wyznaczenia funkcji niezawodności i oczekiwanego czasu zdatności. Wyznacz je.

Zadanie 2.
Funkcja niezawodności \(\displaystyle{ R(t) = (1+\lambda t)e^{-\lambda t},\ t \ge 0,\ \lambda > 0}\) . Znaleźć intensywność uszkodzeń i oczekiwany czas zdatności.

Zadanie 3.
Gęstość prawdopodobieństwa czasu zdatności \(\displaystyle{ f(t) = 6\lambda e^{-2\lambda t} \left(1-e^{-\lambda t}\right),\ t \ge 0,\ \lambda > 0}\) . Obliczyć:
a) Oczekiwany czas zdatności.
b) Wyznaczyć funkcję niezawodności.

[janusz47]

Są to zadania z matematycznych modeli teorii niezawodności.

Zadania 1

Funkcja niezawodności

Ze wzoru Wienera:

\(\displaystyle{ R(t) = e^{-\int_{0}^{t}\lambda(\tau)d\tau}}\)

\(\displaystyle{ R(t) = e^{-\int_{0}^{t}a\tau d\tau}= e^{-\frac{a}{2}t^2}, \ \ t\geq 0.}\)

Podstawiając

\(\displaystyle{ a = 0,0000124,}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ R(t) = e ^{-0,0000062t^2}, \ \ t \geq 0.}\)

Oczekiwany czas zdatności

\(\displaystyle{ E(T) = \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{a}{2}t^2}dt = \sqrt{\frac{\pi}{2a}}.}\)

Podstawiając

\(\displaystyle{ a = 0,0000124,}\)

\(\displaystyle{ E(T) = \sqrt{\frac{\pi}{0,0000124}}= 355}\) dni.


Zadanie 2

Intensywność uszkodzeń

\(\displaystyle{ \lambda(t) = -\frac{d[\ln(R(t)]}{dt}.}\)

\(\displaystyle{ \lambda(t) - \frac{d[\ln(1 +\lambda \cdot t)e^{-\lambda \cdot t}]}{dt}.}\)

Proszę wykonać logarytmowanie i różniczkowanie.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \lambda(t) = \frac{\lambda^2\cdot t }{1 +\lambda \cdot t}.}\)

Oczekiwany czas zdatności

\(\displaystyle{ E(T) = \int_{0}^{\infty}R(t)dt.}\)

\(\displaystyle{ E(T) = \int_{0}^{\infty}(1 +\lambda\cdot t})\cdot e^{-\lambda\cdot t}dt.}\)

Proszę wykonać całkowanie metodą podstawienia i przez części.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ E(T) = 2\frac{1}{\lambda}.}\)


Zadanie 3

Oczekiwany czas zdatności

\(\displaystyle{ E(T) = \int_{0}^{\infty}t\cdot f(t) dt.}\)

\(\displaystyle{ E(T) = \int_{0}^{\infty}t\cdot 6\lambda\cdot e^{-2\lambda\cdot t}[1 - e^{-\lambda \cdot t}]dt , \t\geq 0, \ \ \lambda >0.}\)

Proszę wykonać całkowanie metodą przez części.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ E(T) = \frac{5}{6\lambda}.}\)

Funkcja niezawodności

\(\displaystyle{ R(t) = 1 - \int_{0}^{t} f(s)ds}\)

\(\displaystyle{ R(t) = 1 - \int_{0}^{t} 6\lambda\cdot e^{-2\lambda \cdot t}[1 - e^{-\lambda \cdot t}]dt}\)

Proszę wykonać całkowanie przez podstawienie.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ R(t) = 3e^{-2\lambda \cdot t} - 2e^{-3\lambda t}.}\)

[kaczor58]

Panie Januszu, bardzo dziękuję