Prawdopodobieństwo warunkowe

[Dominik J]

Witam. Mam następujący problem.
\(\displaystyle{ X, Y - \textrm{ zmienne losowe}}\)
\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ a}\)

Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ P(X=k) = \frac{Y^k}{k!} e^{-Y}, \ \ k = 0, 1, 2, \ldots}\)

Nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ P(X=k | Y = n) = \frac{n^k}{k!} e^{-n}}\). Oczywiście rozumiem, mamy prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X=k}\), "pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ Y = n}\) " no a \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ Y}\), czyli z parametrem \(\displaystyle{ n}\), no bo \(\displaystyle{ Y=n}\). Takie jest z pewnością "nieformalne" wyjaśnienie, ale co to w ogóle za wyjaśnienie. Chyba nie rozumiem tutaj czegoś całkowicie elementarnego, ale skoro definicja prawdopodobieństwa warunkowego to jest \(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\) to prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(A|B)}\), to jest \(\displaystyle{ \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\) i tyle. Rozumiem, że ta definicja ma swoją intuicyjną interpretacje - to jest prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), ale jeśli wiadomo, że "zaszło" zdarzenie \(\displaystyle{ B}\), czyli jakby prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), ale w "mniejszej" przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ B \subset \Omega}\), ale to jest tylko interpretacja pozwalająca jakoś myśleć o prawdopodobieństwie warunkowym. Chodzi mi o to jak to uzasadnić, tak jak należy, formalnie, bo chyba na tym polega matematyka, intuicje są po to, żeby wymyślić wyjaśnienie formalne, pozwalają zrozumieć zagadenienie. No to wtedy mamy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego po prostu (znowu to napisze): \(\displaystyle{ P(X=k | Y = n) = \frac{P(X=k \wedge Y=n)}{P(Y = n)}}\). Ok, i nie mam pojęcia co zrobić dalej, jak dojść do \(\displaystyle{ \frac{n^k}{k!} e^{-n}}\). Bardzo proszę o pomoc z tym albo o wyjaśnienie gdzie robię błąd, że nieformalne wyjaśnienie ma się dla mnie nijak do formalnego, czyli tego jak mi się wydaje prawidłowego.

[Lipa_FNTE]

Przede wszystkim rozkład X to już jest rozkład warunkowy. Tak naprawdę to nie X ma rozkład Poissona z parametrem Y a rozkład \(\displaystyle{ X|Y \sim Poiss(Y)}\). Jeżeli chcemy mieć rozkład samego X, to musimy się trochę w tym przypadku pomęczyć:

\(\displaystyle{ P[X = k, Y = n] = P[X = k | Y = n]*P[Y = n]}\)

Wszystko po prawej stronie równości jest dla nas znane. Teraz jeżeli to, co mamy po prawej stronie zsumujemy po wszystkich \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) to dostaniemy dopiero prawdziwy rozkład X, bo ten, o którym mówisz, to jest konkretnie rozkład \(\displaystyle{ X|Y}\).

[Dominik J]

Czyli jeśli \(\displaystyle{ Y}\) jest zmienna losową to sformułowanie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ Y}\) oznacza że \(\displaystyle{ X|Y \sim Poiss(Y)}\) tak? Czy mógłbyś wskazać mi książkę, w której są dobrze i formalnie opisane tego typu zagadnienia, prawdopodobieństwo warunkowe, rozkłady warunkowe? Dotychczas uczyłem się z Jakubowski, Sztencel - "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa", ale nie udało mi się dzięki tej książce zrozumieć opisanego problemu.

[Lipa_FNTE]

Dokładnie tak, to jest rozkład już warunkowy. Wydaje mi się, że najlepszą książką (którą warto przerobić ogólnie dla dobrej znajomości rachunku prawdopodobieństwa) jest książka Understanding Probability (Henk Tijms). Tam są zagadnienia opisane baaaardzo intuicyjnie i mimo zaawansowanych tematów można się tego uczyć praktycznie od zera, bo jest tam wszystko potrzebne do naprawdę fajnego zrozumienia wielu przykładów i zagadnień. Potem można jeszcze raz zajrzeć do Jakubowskiego, a potem przy chęci ogarnięcia zaawansowanych rzeczy do Probability and stochastics (Cinclar E.), ale tutaj już masz mało intuicji a raczej po prostu czystą matmę.