Zmienne dyskretne

[cis123]

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi dyskretnymi takimi, że \(\displaystyle{ P(X=a) \le \gamma}\) oraz \(\displaystyle{ P(Y=a) \le \gamma}\) dla każdego \(\displaystyle{ a \in \RR}\).

Pokaż, że także \(\displaystyle{ P(X + Y=a) \le \gamma}\) dla każdego \(\displaystyle{ a \in \RR}\). Czy założenie niezależności jest potrzebne?



jakieś pomysły?

[Premislav]

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a}\). Niech np. \(\displaystyle{ S}\) będzie nośnikiem \(\displaystyle{ Y}\). Mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=a)= \sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(X+Y=a, \ Y=s)= \sum_{s \in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s, \ Y=s)=\\= \sum_{s\in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s)\mathbf{P}(S=s)}\)
i teraz możemy oszacować dla każdego \(\displaystyle{ s \in S, \ \mathbf{P}(X=a-s)\le \gamma}\), zatem
\(\displaystyle{ \sum_{s\in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s)\mathbf{P}(S=s) \le \sum_{s\in S}^{}\gamma \mathbf{P}(S=s)=\gamma\sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(S=s)=\gamma}\)
bo \(\displaystyle{ \sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(S=s)=1}\).-- 29 lis 2017, o 01:48 --Nie lubię pytań o istotność jakiegoś założenia, ale może ktoś inny coś poradzi. :c

[cis123]

Nośnik \(\displaystyle{ Y}\), czyli zawiera wszystkie wartości, które może przyjmować \(\displaystyle{ Y}\)?

[Premislav]

Tak.