Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi dyskretnymi takimi, że \(\displaystyle{ P(X=a) \le \gamma}\) oraz \(\displaystyle{ P(Y=a) \le \gamma}\) dla każdego \(\displaystyle{ a \in \RR}\).
Pokaż, że także \(\displaystyle{ P(X + Y=a) \le \gamma}\) dla każdego \(\displaystyle{ a \in \RR}\). Czy założenie niezależności jest potrzebne?
jakieś pomysły?
Zmienne dyskretne
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zmienne dyskretne
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a}\). Niech np. \(\displaystyle{ S}\) będzie nośnikiem \(\displaystyle{ Y}\). Mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=a)= \sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(X+Y=a, \ Y=s)= \sum_{s \in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s, \ Y=s)=\\= \sum_{s\in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s)\mathbf{P}(S=s)}\)
i teraz możemy oszacować dla każdego \(\displaystyle{ s \in S, \ \mathbf{P}(X=a-s)\le \gamma}\), zatem
\(\displaystyle{ \sum_{s\in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s)\mathbf{P}(S=s) \le \sum_{s\in S}^{}\gamma \mathbf{P}(S=s)=\gamma\sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(S=s)=\gamma}\)
bo \(\displaystyle{ \sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(S=s)=1}\).-- 29 lis 2017, o 01:48 --Nie lubię pytań o istotność jakiegoś założenia, ale może ktoś inny coś poradzi. :c
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=a)= \sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(X+Y=a, \ Y=s)= \sum_{s \in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s, \ Y=s)=\\= \sum_{s\in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s)\mathbf{P}(S=s)}\)
i teraz możemy oszacować dla każdego \(\displaystyle{ s \in S, \ \mathbf{P}(X=a-s)\le \gamma}\), zatem
\(\displaystyle{ \sum_{s\in S}^{}\mathbf{P}(X=a-s)\mathbf{P}(S=s) \le \sum_{s\in S}^{}\gamma \mathbf{P}(S=s)=\gamma\sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(S=s)=\gamma}\)
bo \(\displaystyle{ \sum_{s\in S}^{} \mathbf{P}(S=s)=1}\).-- 29 lis 2017, o 01:48 --Nie lubię pytań o istotność jakiegoś założenia, ale może ktoś inny coś poradzi. :c
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
Re: Zmienne dyskretne
Nośnik \(\displaystyle{ Y}\), czyli zawiera wszystkie wartości, które może przyjmować \(\displaystyle{ Y}\)?