Wartość oczekiwana

[cis123]

W urnie znajdują się 3 kule, każda z nich zostaje pomalowana na czarno z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Trzykrotnie losujemy ze zwracaniem kulę z urny - okazuje się, że dokładnie 2 razy wylosowaliśmy czarną.
Jaka jest wartość oczekiwana liczby czarnych kul w urnie?

Pomoże ktoś z tym zadaniem?

-- 27 lis 2017, o 23:44 --

niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza, że w urnie było \(\displaystyle{ i}\) kul czarnych.
niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza, że 2 razy na 3 próby wylosowaliśmy czarną kulę.

teraz z twierdzenia bayesa wyznaczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że w kuli było \(\displaystyle{ i}\) kul dla \(\displaystyle{ i = 1,2,3}\), czyli \(\displaystyle{ P(X_{i} | A)}\)

\(\displaystyle{ P(X_{i}) = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ P(X_{1} | A) = \frac{P(A | X_{1})}{P(A | X_{1}) + P(A | X_{2}) + P(A | X_{3})} = \frac{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} }{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot 1 \cdot 0} = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(X_{2} | A) = \frac{P(A | X_{2})}{P(A | X_{1}) + P(A | X_{2}) + P(A | X_{3})} = \frac{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} }{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot 1 \cdot 0} = \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(X_{2} | A) = 0}\)


Teraz liczymy wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ EX = E(X_{1} + X_{2} + X_{3}) = EX_{1} + EX_{2} + EX_{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot 0 = \frac{5}{3}}\)


Czy dobrze to rozumuję? Wynik wydaje się być rozsądny

[janusz47]

Wynik masz dobry.

\(\displaystyle{ P(X_{i}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{i}.}\)

Mógłbyś podać interpretację wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \frac{5}{3}= 1\frac{2}{3}?}\)

[cis123]

Dlaczego \(\displaystyle{ P(X_{i}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{i}}\) ?
przecież dla \(\displaystyle{ X_{1}}\) musimy mieć czarną kulę (z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)) i dwie białe (z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\))

Jeśli jest tak jak mówisz to wynik będzie chyba inny, bo każde \(\displaystyle{ P(X_{i} | A)}\) trzeba przemnożyć przez \(\displaystyle{ P(X_{i})}\) co ja już skróciłem sobie myśląc, że wynoszą tyle samo

z tą interpretacją nie wiem za bardzo o co dokładnie ci chodzi

-- 29 lis 2017, o 01:00 --

tak teraz myślę, że \(\displaystyle{ P(X_{i}) = \frac{3}{8} \ dla \ i=1,2}\) oraz \(\displaystyle{ P(X_{i}) = \frac{1}{8} \ dla \ i=0,3}\), bo przecież kule są rozróżnialne (chyba), ale na wynik i tak to nie wpłynie

[janusz47]

Popraw:

\(\displaystyle{ P(X_{i})= \left( \frac{1}{2}\right)^2= \frac{1}{4}\neq \frac{1}{8}}\)


Interpretacja otrzymanej wartości oczekiwanej

Jeśli będziemy losowali trzykrotnie ze zwracaniem kulę z urny zawierającej trzy kule, to możemy oczekiwać, że jeżeli dwa razy wylosowaliśmy kulę czarną , że liczba kul czarnych w urnie będzie wynosi 2, to jest \(\displaystyle{ 66,(6)\%}\) ogólnej liczby kul.