3 punkty na prostej i nierówność

[Matiks21]

Hej, mam dwa zadania z którymi mam problem

1.Na odcinku \(\displaystyle{ [0 , 1]}\) umieszczono trzy punkty \(\displaystyle{ x_1 ,x_2 ,x_3}\) . Obliczyć prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ x_1 \le x_2 \le x_3}\) .

2. Windą jedzie \(\displaystyle{ 7}\) osób, a każda może wysiąść na jednym z \(\displaystyle{ 10}\) pięter. Jaka jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą \(\displaystyle{ 3}\) osoby, na innym \(\displaystyle{ 2}\) i na dwóch piętrach po jednej?

Proszę o pomoc

[kerajs]

1)
a)
Prawdopodobieństwo trafienia w ten sam punkt jest zerowe. Trzy różne liczby można przypisać niewiadomym na 3! sposobów, ale tylko w jednym będzie zachowana kolejność z treści zadania.
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{3!}= \frac{1}{6}}\)
b)
Można to potraktować jako pr. geometryczne. Możliwe zdarzenia to objętość sześcianu o boku 1. Wynika to z ograniczeń:
\(\displaystyle{ 0 \le x_1 \le 1\\
0 \le x_2 \le 1 \\
0 \le x_3 \le 1}\)
Zdarzenia sprzyjające to objętość ostrosłupa ograniczonego płaszczyznami:
\(\displaystyle{ 0 = x_1 \\
x_1= x_2 \\
x_2= x_3 \\
x_3= 1}\)
która wynosi: \(\displaystyle{ V_{ostroslupa}=\frac{1}{3 } \cdot \frac{1}{2 } \cdot 1 \cdot 1= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{V_{ostroslupa}}{V_{szescianu}} = \frac{ \frac{1}{6} }{1^3}= \frac{1}{6}}\)

2)
a)
\(\displaystyle{ P= \frac{\left( {7 \choose 3} \cdot 10\right) \left( {4 \choose 2} \cdot 9\right)\left( {2 \choose 1} \cdot 8\right) \cdot 7}{10^{7}}}\)
b)
\(\displaystyle{ P= \frac{10 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \frac{7!}{3!2!} }{10^{7}}}\)