Prawdopodobieństwo typu monety

[Matiks21]

Hej, mam takie zadanie. Trochę nie wiem jak się za nie zabrać

Mamy dwie monety: sprawiedliwą (prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ) oraz niesprawiedliwą, na której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Wylosowaliśmy monetę i okazało się, że na 5 rzutów otrzymaliśmy 4 orły. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta jest oszukana?

Proszę o podpowiedź

[Premislav]

Podpowiedź: zastosuj wzór Bayesa.

[Matiks21]

\(\displaystyle{ P(Oszukana| 4 orly w 5 rzutach) = ...}\) ?

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ A}\) - wylosowano oszukaną monetę, \(\displaystyle{ B}\) - w pięciu rzutach trafiliśmy dokładnie cztery orły. Oczywiście jest \(\displaystyle{ mathbf{P}(B|A)={5 choose 4}left( frac 2 3
ight)^4cdot frac 1 3}\)
Ponadto \(\displaystyle{ mathbf{P}(B|A')={5 choose 4}left( frac 1 2
ight)^5}\).
Mamy dwie monety, jedną oszukaną i jedną nie, więc jak to bywa w prawdopodobieństwie klasycznym, \(\displaystyle{ mathbf{P}(A)=frac 1 2=1-mathbf{P}(A')}\)
I otrzymujemy:
\(\displaystyle{ mathbf{P}(A|B)= frac{mathbf{P}(Acap B)}{mathbf{P}(B)} = frac{mathbf{P}(B|A)mathbf{P}(A)}{mathbf{P}(B|A)mathbf{P}(A)+mathbf{P}(B|A')mathbf{P}(A')}=ldots}\)

Jak chcesz ciekawsze zadanko, w którym się nie da aż tak spałować z Bayesa, to zobacz tutaj: 424163.htm
(ja tam akurat trollowałem, powołując się kpiarsko na książkę Matematyka od podstaw do matury, czyli Everest w zasięgu twojej dłoni p. Renaty Bednarz - taki forumowy folklor).