równść zmiennych losowych

[Dominik J]

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić skąd wynika

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} k \textbf{1}_{ \{X_1 + X_2 =k \} } = X_1 + X_2}\) ?
Z góry dziękuję.

[janusz47]

Z definicji indykatora równania:

\(\displaystyle{ \textbf 1_{\{ X_{1}+X_{2}=k \}} =\begin{cases} X_{1}+X_{2}, \ \ \mbox{gdy}\ \ k = 1\\ 0, \ \ \mbox{gdy} \ \ k \neq 1 \end{cases}.}\)

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ x\in\Omega}\). Niech \(\displaystyle{ X_1(x)+X_2(x)=k_0\in\NN\cup\{0\}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ k_0(\mathbf{1}_{ \{X_1 + X_2 =k_0 \} })(x)=k_0=X_1(x)+X_2(x).}\) Dla \(\displaystyle{ k\ne k_0}\) mamy wtedy \(\displaystyle{ k(\mathbf{1}_{ \{X_1 + X_2 =k \} })(x)=0,}\) gdyż zakładaliśmy \(\displaystyle{ X_1(x)+X_2(x)=k_0\ne k.}\) Tak więc równość, o którą pytasz, jest prawdziwa. Samodzielnie rozważ przypadek, gdy \(\displaystyle{ X_1(x)+X_2(x)}\) nie jest żadną z liczb naturalnych ani zerem.