Igła Buffona

[Tomasz271000]

Przyjaciółka ma problem z rozwiązaniem pewnego zadania z prawdopodobieństwem z igłą Buffona. Ja niestety nie daję rady pomóc jej w rozwiązaniu tego zadania.

Brzmi ono tak:

Płaszczyzna jest pokryta jednakowymi prostokątami o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Rzucamy na nią losowo igłę o długości \(\displaystyle{ l}\), gdzie \(\displaystyle{ l \le \min \left\{a,b\right\}}\). Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że igła nie przetnie żadnego z boków tych prostokątów.

Czy ktoś potrafi to zrobić? Byłbym wdzięczny za jakąkolwiek pomoc. I myślę że przyjaciółka też byłaby.

[kruszewski]

Prawdopodobieństwo geometryczne jeżeli długość igły jest taka, że
\(\displaystyle{ l<a<b}\), zaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to odledglości między prostymi wzajemnie prostopadłymi, to prawsopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) takiego, że igła przecina proste odległe od siebie o \(\displaystyle{ a}\) \(\displaystyle{ }\)
wg Buffona jest równe :
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2l}{ \pi a}}\)
Podobnie dla przecinania igłą prostych prostych prostopadłych do poprzednich i odległych od siebie o \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{2l}{ \pi b}}\)
Prawdopodobieństwo zajścia obu zdarzeń sposobem drzewka:
\(\displaystyle{ P(A,B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{4l^2}{ \pi ^ 2a \cdot b}}\)
Zapiszmy ten wynik tak:
\(\displaystyle{ P(A,B) = \frac{4l^2}{ \pi \cdot \pi \cdot 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot 2 \cdot \frac{b}{2} }}\)
\(\displaystyle{ P(A,B)= \frac{4l^2}{4 \pi \cdot ( \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} ) }}\)
po uproszczeniu mamy:\(\displaystyle{ P(A,B) = \frac{l^2}{ \pi \cdot S}}\)
gdzie \(\displaystyle{ l^2}\) - pole kwadratu o boku długości igły, \(\displaystyle{ S}\) - pole elipsy wpisanej w prostokąt.

[Tomasz271000]

Dziękuję za pomoc!