Zmienna losowa X ze stałą c

[gvntle]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma następujący rozkład:
\(\displaystyle{ P(X=k)=2 \cdot c^{k}}\) , dla \(\displaystyle{ k=2,3,4...}\)
a) wyznacz stałą \(\displaystyle{ c}\)
b) obliczyć \(\displaystyle{ P(4 \le X \le 9)}\)
c) obliczyć \(\displaystyle{ E(X)}\)

Z góry dziękuję za pomoc i wszelkie wskazówki.

[szw1710]

Wskazówka: \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową dyskretną. Jaką własność mają prawdopodobieństwa przyjmowania poszczególnych wartości. Taką globalną. Bo że są to liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), doskonale wiem.

[gvntle]

Wskazówka: \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową dyskretną. Jaką własność mają prawdopodobieństwa przyjmowania poszczególnych wartości. Taką globalną. Bo że są to liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), doskonale wiem.

Chodzi o to, że mają sumę równą 1?
Mam rozwiązany podobny przykład z tym, że dla k=1,2,3.... i zastanawiam się nad tym, czy metoda w obu przypadkach jest taka sama.

[szw1710]

O właśnie, o to chodziło. Skoro nie widzę metody to trudno mi powiedzieć czy proponowana przeze mnie jest identyczna. Skorzystaj więc z mojej wskazówki.

[gvntle]

Mam pytanie, czy mogę potraktować tą sumę jako szereg zbieżny, a pierwszy element jako \(\displaystyle{ 2c^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ q=c}\)? Stąd wyliczam:\(\displaystyle{ c _{1}= \frac{1}{2}}\) oraz\(\displaystyle{ c _{2}=-1}\) a później odrzucam wartość -1?
Czy to kompletnie nie tak?

[janusz47]

a)

Z definicji rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{\infty}2c^{k} =1}\)

\(\displaystyle{ |c|<1.}\)

Proszę znaleźć sumę tego nieskończonego szeregu geometrycznego i porównać z \(\displaystyle{ 1.}\)

\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{c^2}{1- c} = 1}\)

\(\displaystyle{ c = ...}\)

Odp: \(\displaystyle{ c = \frac{1}{2}.}\)

b)

\(\displaystyle{ Pr( 4\leq X \leq 9) = F(9) - F(4),}\)

gdzie

funkcja rozkładu (dystrybuanta)

\(\displaystyle{ F(k) = \sum_{i: i\leq k}\left( \frac{1}{2}\right)^{i}.}\)

c)

Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)

\(\displaystyle{ E(X)= \sum_{k=2}^{\infty}2 k\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{k}=...}\)


Odp: \(\displaystyle{ E(X) = 7.}\)

[gvntle]

Policzyłam \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), niemniej jednak mam dalej problem z podpunktem c, ponieważ wychodzi mi \(\displaystyle{ E(X)=4}\). Czy mógłby Pan pokazać, jak doszedł do tej liczby?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 2\cdot a^{n} = \frac{2}{(1-a)^2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}n\cdot 2 a^{n} = \frac{2}{(1-a)^2} -1\cdot 2 a^{1}.}\)

Proszę podstawić \(\displaystyle{ a = \frac{1}{2}.}\)

[gvntle]

Skąd bierze się ta zależność po znaku"="?
Chciałabym zrozumieć metodę rozwiązywania, nie tylko zrobić samo zadanie.
Rozumiem, że tam powinno być jakieś różniczkowanie, ale jakiego wzoru?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 2\cdot a^{n} = \frac{2}{(1-a)^2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}n\cdot 2 a^{n} = \frac{2}{(1-a)^2} -1\cdot 2 a^{1}.}\)

Proszę podstawić \(\displaystyle{ a = \frac{1}{2}.}\)

a może
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 2\cdot a^{n} = \frac{2a}{(1-a)^2}}\)
i
\(\displaystyle{ E(X)=3}\)

Można bez różniczkowania:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ E(X)=2 \cdot \frac{1}{2}+ 3 \cdot \frac{1}{2^2}+ 4 \cdot \frac{1}{2^3}+ 5 \cdot \frac{1}{2^4}+....=\\=2\left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4}+....\right)+ \left( \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4}+....\right)+ \left( \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4}+....\right)+...=\\= 2 \cdot 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^3}+ +....=3}\)

[janusz47]

Z podanej treści zadania rozkład zaczyna się do\(\displaystyle{ k=2}\) a nie od \(\displaystyle{ k = 1.}\)

[kerajs]

Z podanej treści zadania rozkład zaczyna się do\(\displaystyle{ k=2}\) a nie od \(\displaystyle{ k = 1.}\)

Istotnie, zaczyna się od \(\displaystyle{ k=2}\)
\(\displaystyle{ P(2)= \frac{1}{2}\\
P(3)= \frac{1}{2^2}\\
...\\
P(n)= \frac{1}{2^{n-1}} \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\)
Dlatego
\(\displaystyle{ E(X)= \sum_{k=2}^{ \infty } kP(k)=3}\)
co pokazałem w poprzednim poscie:

Można bez różniczkowania:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ E(X)=2 \cdot \frac{1}{2}+ 3 \cdot \frac{1}{2^2}+ 4 \cdot \frac{1}{2^3}+ 5 \cdot \frac{1}{2^4}+....=\\=2\left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4}+....\right)+ \left( \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4}+....\right)+ \left( \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4}+....\right)+...=\\= 2 \cdot 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^3}+ +....=3}\)

[janusz47]

Sprawdźmy granicą \(\displaystyle{ n-}\) tej sumy częściowej.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} 2\cdot 2^{-n-1}[ -2n +3\cdot 2^{n} -4]= \lim_{n\to \infty}2^{-n}[-2n +3\cdot 2^{n} - 4] = \lim_{n\to \infty} \left( -\frac{2n}{2^{n}}+ 3 -\frac{4}{2^{n}}\right) = 0 +3 +0 = 3.}\)

Masz rację.

Dzięki!