funkcja tworząca ciągu

[tina22]

Witam Jak stworzyć funkcję tworzącą ciągu geometryczno - arytmetycznego:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax _{n} +b}\).
Będę wdzięczna za jakieś wskazówki ;D

[Premislav]

\(\displaystyle{ x_{n+1}=ax _{n} +b\\ \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+1}t^n= \sum_{n=0}^{ \infty } ax_n t^n+ \sum_{n=0}^{ \infty } bt^n\\t\cdot \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+1}t^n= t\cdot\sum_{n=0}^{ \infty } ax_n t^n+ t\cdot\sum_{n=0}^{ \infty } bt^n\\ \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+1}t^{n+1}=at \sum_{n=0}^{ \infty }x_n t^n+ \frac{bt}{1-t}}\)
(ostatnia suma zwija się bowiem ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, \(\displaystyle{ |t|<1}\)),
jeżeli teraz oznaczymy \(\displaystyle{ G(t)= \sum_{n=0}^{ \infty } x_nt^n}\), to mamy
\(\displaystyle{ G(t)-x_0=atG(t)+\frac{bt}{1-t}}\)
i z tego wyznaczasz \(\displaystyle{ G(t)}\).

[tina22]

Dziękuję