Witam mam problem z metodą postępowania przy takim zadaniu:
Trzy pary małżeńskie siadają dokoła okrągłego stołu. Ile wynosi prawd.:
b)żadna para małżeńska nie siedzi obok siebie
Trzy pary małżeńskie
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Trzy pary małżeńskie
Jest kilka sposobów obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia, że żadna z par małżeńskich nie będzie siedziała obok siebie przy okrągłym stole:
- model kombinatoryczny,
-model mnogościowy w oparciu o zasadę włączeń i wyłączeń,
- model permutacyjny- cyklicznej symetrii.
Model kombinatoryczny
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na losowym siadaniu przy okrągłym stole trzech par małżeńskich.
Zakładamy, że pary małżeńskie nie mają wcześniej ustalonych miejsc.
Model doświadczenia losowego
\(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P ).}\)
Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia
\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2,3,4,5,6\}\rightarrow \{1,2,3,4,5,6\} \wedge f(i)\neq f(j), \ \ i\neq j, \ \ i, j\in \{ 1,2,3,4,5,6}\} \}.}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = (6-1)!= 5!}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)- zdarzeń.
\(\displaystyle{ P}\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{5!}.}\) - wszystkie rozmieszczenia osób są jednakowo mozliwe.
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenia "żadna para małżeńska nie siedzi obok siebie"
\(\displaystyle{ A'}\) - zdarzenie przeciwne " każda para siedzi obok siebie.
Wszystkich możliwych rozmieszczeń trzech par jest \(\displaystyle{ 2^3.}\)
W każdym takim rozmieszczeniu małżonek może siedzieć z lewej lub prawej strony swojej partnerki, więc mamy \(\displaystyle{ 2}\) takie możliwości.
Stąd
\(\displaystyle{ |A'| = (2^3)\cdot 2 .}\)
Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{|A'|}{|\Omega|}= \frac{(2^3)\cdot 2}{5!}.}\)
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{(2^3)\cdot 2}{5!}.}\)
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15} = 0,86(6).}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
W wyniku realizacji doświadczenia losowego można oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 86,(6)\%}\) ogólnej liczby jego wyników, żadna para małżeńska nie będzie siedziała obok siebie.
- model kombinatoryczny,
-model mnogościowy w oparciu o zasadę włączeń i wyłączeń,
- model permutacyjny- cyklicznej symetrii.
Model kombinatoryczny
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na losowym siadaniu przy okrągłym stole trzech par małżeńskich.
Zakładamy, że pary małżeńskie nie mają wcześniej ustalonych miejsc.
Model doświadczenia losowego
\(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P ).}\)
Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia
\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2,3,4,5,6\}\rightarrow \{1,2,3,4,5,6\} \wedge f(i)\neq f(j), \ \ i\neq j, \ \ i, j\in \{ 1,2,3,4,5,6}\} \}.}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = (6-1)!= 5!}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)- zdarzeń.
\(\displaystyle{ P}\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{5!}.}\) - wszystkie rozmieszczenia osób są jednakowo mozliwe.
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenia "żadna para małżeńska nie siedzi obok siebie"
\(\displaystyle{ A'}\) - zdarzenie przeciwne " każda para siedzi obok siebie.
Wszystkich możliwych rozmieszczeń trzech par jest \(\displaystyle{ 2^3.}\)
W każdym takim rozmieszczeniu małżonek może siedzieć z lewej lub prawej strony swojej partnerki, więc mamy \(\displaystyle{ 2}\) takie możliwości.
Stąd
\(\displaystyle{ |A'| = (2^3)\cdot 2 .}\)
Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{|A'|}{|\Omega|}= \frac{(2^3)\cdot 2}{5!}.}\)
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{(2^3)\cdot 2}{5!}.}\)
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15} = 0,86(6).}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
W wyniku realizacji doświadczenia losowego można oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 86,(6)\%}\) ogólnej liczby jego wyników, żadna para małżeńska nie będzie siedziała obok siebie.