Matematyka.pl

Urna zawiera 2 czarne i 3 białe kule. Wyjmujemy losowo z urny po jednej kuli tak długo, dopóki nie
wyjmiemy kuli czarnej. Niech R oznacza liczbę kul wyjętych z urny. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
i oczekiwaną wartość zmiennej losowej R.
W jaki sposób wyznacza się rozkład prawdopodobieństwa?

Zmienna losowa \(\displaystyle{ R}\) ma rozkład geometryczny - oczekiwanie na pierwszy sukces- "wyjęcie kuli czarnej".

Rozkład \(\displaystyle{ P}\) nazywamy geometrycznym jeżeli istnieją liczby \(\displaystyle{ p,q}\) takie, że \(\displaystyle{ 0<p,q<1}\) , \(\displaystyle{ p+q=1}\) oraz zachodzi równość \(\displaystyle{ P(k)=q^{k-1}p}\).
Znalazłem taką oto definicję. Teraz czy nie myli mnie czasem intuicja..
\(\displaystyle{ K}\) będziemy utożsamiać z kolejnością wyciągania kul, tj. pierwsze,drugie... losowanie.
Natomiast \(\displaystyle{ p,q}\) to odpowiednio prawd prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli białej i czarnej.

-- 16 lis 2017, o 20:45 --

Zatem rozkład prawdopodobieństwa to po prostu dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,4}\) odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}}\). Mam rację? A co z oczekiwaną wartością zmiennej losowej?

-- 16 lis 2017, o 20:56 --

Przeczytałem, iż wartością oczekiwaną nazwiemy : \(\displaystyle{ \sum_{x \in S_x} x \cdot p_x(x)}\). Czy tutaj \(\displaystyle{ x}\) pełni rolę wcześniejszego \(\displaystyle{ k}\)?-- 16 lis 2017, o 21:09 --Z kolei \(\displaystyle{ p_X(x)=F_X(x)- \lim_{u \to x^- }F_X(u)}\) i tego nie rozumiem.

Rozkład

\(\displaystyle{ Pr(\{R = n\}})= \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{3}{5}\right)^{i-1}\left(\frac{2}{5}\right), \ \ n=1,2,3,...}\)

Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ \mu_{R} = \sum_{x=1}^{\infty}x\cdot \left(1-\frac{3}{5}\right)\cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{2}{5} \sum_{x=0}^{\infty}(x+1) \cdot \left (\frac{3}{5}\right)^{x} = \frac{2}{5}\frac{1}{[1 - (1- \frac{2}{5})]^2} = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^2} = \frac{5}{2}.}\)

Wykorzystaliśmy rozwinięcie w szereg Taylora:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}= \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(1-p)^{k}.}\)

Wartość oczekiwana powinna raczej równać się 2.

Dlaczego?

Wartość oczekiwana rozkładu geometrycznego \(\displaystyle{ G (p)}\):

\(\displaystyle{ \mu (G) = \mu_{R} = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{2}{5}}= \frac{5}{2}=2,5.}\)

Rozkład byłby geometryczny, gdyby po losowaniu kula wracała do urny. Ale tak nie jest.

Przyjmujemy, że wraca po wylosowaniu do urny, a nie odkładana jest na bok.

Nie ma takiej informacji w zadaniu (które moim zdaniem jest z tego względu „średnio" sformułowane). Acz jeśli losujemy bez zwracania, to to jest trywialne zadanie dla podstawówki (no dobra, w podstawówce nie ma rachunku prawdopodobieństwa) na rozpisanie przypadków (bo mamy ich skończenie wiele, i to naprawdę mało), ze zwracaniem treść jest ciekawsza (acz nie ma raczej innych podstaw do tego, by tak przyjmować).

Otrzymałem taką odpowiedź od prowadzącego ćwiczenia : "Jeśli w zadaniach nie ma napisane" ze zwracaniem" to przyjmujemy wersję bez zwracania" Zatem wartość oczekiwana to 2.

Nie ma tu żadnej umowy z prowadzącym zajęcia. Jest to zwykłe niedopatrzenie.

W każdym zadaniu z teorii prawdopodobieństwa w którym wykonujemy losowania powinno być wyraźnie napisane, czy losowanie odbywa się ze zwracaniem czy bez zwracania.

Jeśli losowanie kuli odbywa się bez zwracania, to zmienna losowa \(\displaystyle{ R}\)- ilości wylosowanych kul ma rozkład hipergeometryczny \(\displaystyle{ R\sim \mathcal{H}(5, 1).}\)

Po prostu policz jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli w pierwszym losowaniu, potem w drugim, potem trzecim i wreszcie czwartym. Prawdopodobieństwo warunkowe sie kłania

Poradziłem sobie z tym zadaniem.Chciałem jedynie zobaczyć w jaki sposób określa, opisuje się rozkład prawdopodobieństwa i oczekiwaną wartość zmiennej losowej, gdyż miałem jedynie "gołą" definicje.

Skoro z zadaniu nie jest napisane „ze zwracaniem” i prowadzący powiedział:

pawlo392 pisze:... przyjmujemy wersję „bez zwracania”.

to niby dlaczego

janusz47 pisze:... Jest to zwykłe niedopatrzenie.

???

Pewnie dlatego, że prowadzący powiedział to dopiero jak został zapytany. Przynajmniej ja tak to interpretuję.