Warunkowa wartość oczekiwana

[rose93]

\(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{A},P)}\)-przestrzeń probabilistyczna, \(\displaystyle{ X}\)-zmienna losowa całkowalna, \(\displaystyle{ \mathcal{F} \subset \mathcal{A}}\)-\(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało. Jak udowodnić, że jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalna, to \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{F})=X}\)?

[janusz47]

Ponieważ:

\(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}-}\) mierzalna
i
\(\displaystyle{ \int_{\mathcal{A}} X dP = \int_{\mathcal{A}} E(X|\mathcal{F})dP, \ \ \mathcal{A}\in \mathcal F,}\)

więc

\(\displaystyle{ E(X|\mathcal{F}) = X.}\)

[rose93]

Czemu gdy, \(\displaystyle{ X}\) nie jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalne nie można tak zrobić?

[janusz47]

Dlatego, że wtedy ta równość nie zachodzi. Bo zgodnie z twierdzeniem Randona- Nikodyna, warunkowa wartość oczekiwana \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{F})}\) jest jednoznacznie określona tylko do zbiorów miary\(\displaystyle{ P-zero}\) (p.w.P).

Jnaczej mówiąc, za \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{F})}\) można przyjąć dowolną \(\displaystyle{ \mathcal{F}-}\)mierzalną funkcję \(\displaystyle{ f(\omega),}\) nazywaną wariantem wartości oczekiwanej, dla której
\(\displaystyle{ Q(\mathcal {A}) = \int_{\mathcal{A}}f(\omega) dP , \ \ \mathcal{A} \in \mathcal{F}.}\)