Matematyka.pl

Mamy pociąg złożony z tr zech wagonów. Wsiada do niego niezależnie od siebie 5 osób, przy czym dla każdego pasażera wybór pierwszego lub ostatniego wynosi 1/4 a środkowego 1/2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że do każdego wagonu ktoś wsiadł.
Próbuje do tego podejść przez zdarzenie przeciwne.

Spróbowałbym podejść do tego klasycznie.
Chcemy, aby w każdym wagonie byli pasażerowie, a więc dostajemy sześć różnych zdarzeń sprzyjających.

\(\displaystyle{ \begin{matrix}3|&1&|1\end{matrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{matrix}1|&3&|1\end{matrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{matrix}1|&1&|3\end{matrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{matrix}2|&2&|1\end{matrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{matrix}2|&1&|2\end{matrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{matrix}1|&2&|2\end{matrix}}\)

Zatem otrzymujemy,
\(\displaystyle{ P(A) = 3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \\ = \frac{3}{512} + \frac{4}{512} + \frac{4}{512} = \frac{11}{512}}\).

Aczkolwiek ten sposób rozwiązania jest bardzo brzydki i najprostszy z najprostszych, jestem pewien, że można to zgrabniej zapisać w postaci sumy, ale dawno nie miałem dotyczenia z rachunkiem prawdopodobieństwa i takie rozwiązanie wydało mi się najprostsze.