Prawdopopodobieństwo geometryczne.

[pawlo392]

W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku długości\(\displaystyle{ 1}\) losujemy jeden punkt.Jakie jest prawdopodobieństwo, że jego odległość od przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4}}\) jeśli odległość od przekątnej \(\displaystyle{ BD}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4}}\).
Dochodzę do jakiejś sprzeczności.
Jeśli weźmiemy najpierw pod uwagę prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ B}\), czyli drugiej części zadania, to interesuje nas trójkąt którego wysokość jest równa \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4}}\). Zatem bierzemy pod uwagę jego pole. Niestety przy przecięciu pojawia się problem..

[kerajs]

Zdarzeniu B odpowiada pole sześciokąta:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\fill[yellow](0,2)--(2,0)--(4,0)--(4,2)--(2,4)--(0,4)--(0,2);
\draw[thick] (0,0) node[below left] {A} -- (4,0) node[below right] {B} -- (4,4) node [right] {C} -- (0,4) node[ left] {D} -- cycle;
\draw [thick,blue] (4,0) -- (0,4) ;
\draw [thick,blue,dashed] (2,0) -- (0,2) ;
\draw [thick,blue,dashed] (4,2) -- (2,4) ;
\end{tikzpicture}}\)

a części wspólnej zdarzeń A i B - pole części wspólnej dwóch sześciokątów:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below left] {A} -- (4,0) node[below right] {B} -- (4,4) node [right] {C} -- (0,4) node[ left] {D} -- cycle;
\fill[yellow](0,2)--(2,0)--(4,2)--(2,4)--(0,2);
\draw [thick,blue] (4,0) -- (0,4) ;
\draw [thick,blue,dashed] (2,0) -- (0,2) ;
\draw [thick,blue,dashed] (4,2) -- (2,4) ;
\draw [thick,red] (0,0) -- (4,4) ;
\draw [thick,red,dashed] (2,0) -- (4,2) ;
\draw [thick,red,dashed] (0,2) -- (2,4) ;
\end{tikzpicture}}\)

[pawlo392]

A no tak, dziękuje.