Rozkład wykładniczy - część całkowita i część ułamkowa

[matematyk888]

Cześć,

mam problem z poniższym zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda =
1}\).

Niech:
\(\displaystyle{ Z}\) - oznacza część całkowitą \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ U}\) - oznacza część ułamkową liczby \(\displaystyle{ X}\), zatem \(\displaystyle{ U = X - Z}\).
Wtedy \(\displaystyle{ E(ZU)}\) jest równa?

Przekształciłem tę WO jako \(\displaystyle{ E(ZU) = E(ZX) - E(Z ^{2})}\). Policzyłem też gęstość i wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(Z ^{2})}\) jako:

\(\displaystyle{ E(Z ^{2}) = (1- e^{-1}) \frac{e(1+e)}{(e-1) ^{3} }}\).

Jednak mam problem z pierwszą częścią, czyli \(\displaystyle{ E(ZX)}\).

Z góry dzięki za pomoc

[Premislav]

Funkcje prawostronnie ciągłe są borelowskie (dość znany lemat, jak coś to dowód da się wyszperać na forum), a \(\displaystyle{ z(x)=\lfloor x\rfloor}\) jest prawostronnie ciągła. Iloczyn funkcji borelowskich jest funkcją borelowską. Zatem możesz to policzyć z takiego wzorku:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(ZX)= \int_{0}^{+\infty}z(x)\cdot x e^{-x} \,\dd x}\)
gdzie \(\displaystyle{ z(x)=\left\lfloor x\right\rfloor}\).
Następnie rozbijasz na przeliczalną sumę całek po przedziałach, w których \(\displaystyle{ z(x)}\) jest stała (trzeba to przejście jakoś uzasadnić, np, z któregoś twierdzenia Lebesgue'a na oko pójdzie) i liczysz sumę szregu, którego n-ty wyraz to
\(\displaystyle{ n \cdot \int_{n}^{n+1}xe^{-x}\,\dd x}\).

Powodzenia.

-- 30 paź 2017, o 21:03 --

Może napiszę też ogólniejszą prawidłowość, bo niewykluczone, że Ci się przyda (rzecz możliwa, że już dobrze to znasz, ale na wszelki wypadek…): niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością \(\displaystyle{ f(x)}\) i niech \(\displaystyle{ g: \RR\rightarrow \RR}\) będzie funkcją borelowską.
Wówczas jeśli istnieje wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(X)]}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(X)]= \int_{\RR}^{}g(x)\cdot f(x) \,\dd x}\)

[matematyk888]

Idealnie, pięknie dziękuję

Generalnie, nie wiem czemu, ale kombinowałem z całką na zewnątrz a sumą wewnątrz - nie miało to sensu.

P.S. Poniższa zależność była mi znana.