Cześć,
w zadaniu 11 z arkusza zadań:
użyto faktu jakoby:
\(\displaystyle{ E( \lambda + X_{i})^{k} = \frac{3}{3+k}, k \ge 0}\)
Czy ktoś byłby w stanie wytłumaczyć mi skąd bierze się za zależność?
Z góry wielkie dzięki.
Moment rozkładu Pareto
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 15 maja 2012, o 14:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 18 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Moment rozkładu Pareto
Cześć
Ta zależność bierze się z określenia momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,...,n}\) o rozkładzie Pareto z parametrami:
\(\displaystyle{ \theta =3, \ \ \lambda =1.}\)
\(\displaystyle{ E(\lambda - X_{i})^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}.}\)
Ta zależność bierze się z określenia momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,...,n}\) o rozkładzie Pareto z parametrami:
\(\displaystyle{ \theta =3, \ \ \lambda =1.}\)
\(\displaystyle{ E(\lambda - X_{i})^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 15 maja 2012, o 14:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 18 razy
Re: Moment rozkładu Pareto
Dzięki za odpowiedź, natomiast nadal nie "łapię".
Po pierwsze, w Twoim wzorze mamy minus, po drugie, nie wiem na ile moja (nie)znajomość rozkładu Pareto ma tutaj znaczenie, ale znam definicję momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) jako:
\(\displaystyle{ E( X_{i} - EX_{i}) ^{k}}\)
Po drugie, w tym konkretnym zadaniu, argument zadanej wartości oczekiwanej, czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \lambda + X_{i} }}\)
Dlaczego w/w zależność (fakt) ma tutaj zastosowanie, a nie np. jakaś jej odwrotność?
Po pierwsze, w Twoim wzorze mamy minus, po drugie, nie wiem na ile moja (nie)znajomość rozkładu Pareto ma tutaj znaczenie, ale znam definicję momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) jako:
\(\displaystyle{ E( X_{i} - EX_{i}) ^{k}}\)
Po drugie, w tym konkretnym zadaniu, argument zadanej wartości oczekiwanej, czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \lambda + X_{i} }}\)
Dlaczego w/w zależność (fakt) ma tutaj zastosowanie, a nie np. jakaś jej odwrotność?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Moment rozkładu Pareto
matematyk888, to jest ewidentny błąd w rozwiązaniu (ale możliwe, że to tzw. literówka), powinno być dla odwrotności (i żeby to wyliczyć, wystarczy scałkować, ewentualnie sprowadzając np. do jakiejś reprezentacji rozkładu beta), przecież dla rozkładu Pareta coś takiego jak
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X_i+\lambda]^k}\) gdzie \(\displaystyle{ k\ge 0}\) nawet nie dla wszystkich \(\displaystyle{ k}\) dodatnich może istnieć (wystarczy spojrzeć na funkcję gęstości, by dojść do tego wniosku), więc wyszedłby jakiś bubel.
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X_i+\lambda]^k}\) gdzie \(\displaystyle{ k\ge 0}\) nawet nie dla wszystkich \(\displaystyle{ k}\) dodatnich może istnieć (wystarczy spojrzeć na funkcję gęstości, by dojść do tego wniosku), więc wyszedłby jakiś bubel.
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 15 maja 2012, o 14:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 18 razy
Re: Moment rozkładu Pareto
Czyli zależność:
\(\displaystyle{ E({ \frac{1}{\lambda + X_{i} }} ) ^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}}\)
już zachodzi w sposób prawidłowy?
Edit: proszę o potwierdzenie, bo nie mam w tej chwili policzyć całki (podróż). Sorry za namolność.
Edit2: Ok, już widzę, że to zadziała, dzięki wielkie za pomoc
\(\displaystyle{ E({ \frac{1}{\lambda + X_{i} }} ) ^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}}\)
już zachodzi w sposób prawidłowy?
Edit: proszę o potwierdzenie, bo nie mam w tej chwili policzyć całki (podróż). Sorry za namolność.
Edit2: Ok, już widzę, że to zadziała, dzięki wielkie za pomoc