Moment rozkładu Pareto

[matematyk888]

Cześć,

w zadaniu 11 z arkusza zadań:



użyto faktu jakoby:

\(\displaystyle{ E( \lambda + X_{i})^{k} = \frac{3}{3+k}, k \ge 0}\)

Czy ktoś byłby w stanie wytłumaczyć mi skąd bierze się za zależność?

Z góry wielkie dzięki.

[janusz47]

Cześć

Ta zależność bierze się z określenia momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,...,n}\) o rozkładzie Pareto z parametrami:

\(\displaystyle{ \theta =3, \ \ \lambda =1.}\)

\(\displaystyle{ E(\lambda - X_{i})^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}.}\)

[matematyk888]

Dzięki za odpowiedź, natomiast nadal nie "łapię".

Po pierwsze, w Twoim wzorze mamy minus, po drugie, nie wiem na ile moja (nie)znajomość rozkładu Pareto ma tutaj znaczenie, ale znam definicję momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) jako:

\(\displaystyle{ E( X_{i} - EX_{i}) ^{k}}\)

Po drugie, w tym konkretnym zadaniu, argument zadanej wartości oczekiwanej, czyli:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \lambda + X_{i} }}\)

Dlaczego w/w zależność (fakt) ma tutaj zastosowanie, a nie np. jakaś jej odwrotność?

[Premislav]

matematyk888, to jest ewidentny błąd w rozwiązaniu (ale możliwe, że to tzw. literówka), powinno być dla odwrotności (i żeby to wyliczyć, wystarczy scałkować, ewentualnie sprowadzając np. do jakiejś reprezentacji rozkładu beta), przecież dla rozkładu Pareta coś takiego jak
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X_i+\lambda]^k}\) gdzie \(\displaystyle{ k\ge 0}\) nawet nie dla wszystkich \(\displaystyle{ k}\) dodatnich może istnieć (wystarczy spojrzeć na funkcję gęstości, by dojść do tego wniosku), więc wyszedłby jakiś bubel.

[matematyk888]

Czyli zależność:

\(\displaystyle{ E({ \frac{1}{\lambda + X_{i} }} ) ^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}}\)

już zachodzi w sposób prawidłowy?

Edit: proszę o potwierdzenie, bo nie mam w tej chwili policzyć całki (podróż). Sorry za namolność.
Edit2: Ok, już widzę, że to zadziała, dzięki wielkie za pomoc