Mam takie zadanie. Niech \(\displaystyle{ (B_{t}, t\in[0,1])}\). Wykazać, że proces \(\displaystyle{ X_{t}=(1+t)(B_{\frac{t}{t+1}}-\frac{t}{1+t}B_{1}) , t\geq0}\) jest procesem ruchu Browna.
Zastanawiam się, czy policzenie kowariancji \(\displaystyle{ cov(X_{t},X_{s})=\min \{s,t\}=t}\) gdy \(\displaystyle{ s\geq t}\) wystarcza na pokazanie, że \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest procesem ruchu Browna? Czy muszę jakoś pokazać, że trajektorie procesu są ciągłe?
Proces ruchu Browna
-
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 21 cze 2014, o 17:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 3 razy
Proces ruchu Browna
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 22:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Proces ruchu Browna
Mamy \(\displaystyle{ \{ B_{t}, t\in [0, 1] \}}\) - most Browna - wystarczy więc wykazać, tak jak przypuszczasz
- niezależność i ciągłość przyrostu procesu:
\(\displaystyle{ X_{t} = (1+t)\cdot B_{\frac{t}{t+1}}- t\cdot B_{1}, \ \ t\geq 0.}\)
- niezależność i ciągłość przyrostu procesu:
\(\displaystyle{ X_{t} = (1+t)\cdot B_{\frac{t}{t+1}}- t\cdot B_{1}, \ \ t\geq 0.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 21 cze 2014, o 17:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 3 razy
Proces ruchu Browna
Żeby pokazać niezależność przyrostów można sprawdzić, że \(\displaystyle{ cov(X_{t},X_{t+1}-X_{t})=cov(X_{t},X_{t+1})-cov(X_{t},X_{t})=0}\)?