Zmienna losowa ciągła - wyznaczenie gęstości i dystrybuanty

[rafaljac]

Z trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ \left( 0,0 \right) , \left( 1,0 \right) , \left( 1,1 \right)}\) wybrano losowo jeden punkt. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza pierwszą współrzędną wybranego punktu.
a) oblicz \(\displaystyle{ P \left( X\le \frac12 \right)}\) i \(\displaystyle{ P \left( X=\frac12 \right)}\)
b) Wyznacz dystrybuantę zmienne losowej \(\displaystyle{ X}\)
c) Podaj gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)

jak to się rozwiązuje?

[szw1710]

Zadanie możesz zrobić stosując prawdopodobieństwo geometryczne. Najlepiej zacząć od wyznaczenia dystrybuanty. Potem automatycznie zrobisz pozostałe podpunkty. Skorzystaj z definicji dystrybuanty.

[rafaljac]

Dzięki za podpowiedź. Moje przemyślenia:
\(\displaystyle{ P \left( X\le\frac12 \right) = \frac14}\) natomiast \(\displaystyle{ P \left( X=\frac12 \right) = 0}\).
Dystrybuanta: \(\displaystyle{ F \left( x \right) = P \left( - \infty , x \right) = \frac{\frac{ \left( x \cdot x \right) }{2}}{\frac{1}{2}} = x^2}\)
Gęstość (pochodna z dystrybuanty): \(\displaystyle{ f \left( x \right) = 2x}\)

Jednak wydaje mi się, że to nie wszystko (jeśli nawet "dobrze kombinuje"). Nie trzeba funkcji \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ f}\) rozbić na przypadku dla \(\displaystyle{ x<0}\) itp? jeśli tak to dlaczego?

[szw1710]

A co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ x<0?}\) I analogicznie co dla\(\displaystyle{ x>1}\)?

Prawdopodobieństwa wyznaczyłeś prawidłowo.

[rafaljac]

powinno byc tak:

\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}0 \; dla \; x \in (-\infty,0)\\x^2 \; dla \; x \in [0,1]\\1 \; dla \; x > 1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 \; dla \; x\not\in [0,1]\\2x \; dla \; x \in [0,1]\end{cases}}\)
?

[szw1710]

Tak, w porządku.