Nie bardzo wiem jak rozwiązać poniższe zadanie i który dział prawdopodobieństwa (klasyczne, warunkowe itp.) tutaj należy zastosować.
Pewien student ma \(\displaystyle{ n}\) kolegów, których zaprasza do siebie po trzech na raz w ciągu kolejnych \(\displaystyle{ n}\) dni. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każdy z kolegów zostanie zaproszony przynajmniej jeden raz? Wyprowadzić wzór dla dowolnego \(\displaystyle{ n\ge 3}\) i zastosować gdy \(\displaystyle{ n=4}\).
Jeśli ktoś wie jak to rozwiązać lub ma pomysł to byłbym wdzięczny za jakąkolwiek udzieloną pomoc.
Pozdrawiam.
rachunek prawdopodobieństwa
-
Tomasz271000
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 12 lip 2017, o 16:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
rachunek prawdopodobieństwa
Doświadczenie losowe \(\displaystyle{ E}\) opisane w zadaniu jest \(\displaystyle{ n}\) - etapowe i polega na losowym zapraszaniu po trzech kolegów ze zbioru \(\displaystyle{ n, \ \ n\geq 3}\) osób przez \(\displaystyle{ n}\) kolejnych dni.
\(\displaystyle{ E = E_{1} \cup E_{2} \cup ... \cup E_{n}.}\)
Model etapu \(\displaystyle{ E_{i}, \ \ i=1,2,..., n. i - ty}\) dzień zaproszeń.
\(\displaystyle{ (\Omega_{i}, \ \ 2^{\Omega_{i}}, P_{i}):}\)
\(\displaystyle{ \Omega_{i} = \{\omega: \omega= f: \{1,2,...,n \}\rightarrow \{1,2,3\}, f(i)\neq f(j), i\neq j\}.}\)
\(\displaystyle{ |\Omega_{i}| = C_{n}^{3}= {n\choose 3}.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega_{i}}}\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega_{i}}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{| \Omega_{i}|}= \frac{1}{{n\choose 3}}.}\)
Model \(\displaystyle{ n -}\) etapowego doświadczenia:
\(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P):}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2}\times ... \times \Omega_{n}.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega} = 2^{\sum_{i=1}^{n}\Omega_{i}},}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = P_{1}\cdot P_{2}\cdot ...\cdot P_{n} = \frac{1}{{n\choose 3}^{n}}.}\)
Oznaczenie zdarzenia losowego:
\(\displaystyle{ A_{n}}\) -" każdy z \(\displaystyle{ n}\) kolegów zostanie zaproszony przynajmniej jeden raz"
Do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ A_{n}}\) skorzystamy z ogólnej zasady "włączeń i wyłączeń".
\(\displaystyle{ |A_{n}| = {n\choose 3}^{n} - \sum_{k=1}^{n-3}(-1)^{k-1}\cdot {n\choose k}\cdot {n-k \choose 3}^{n}.}\)
Zakładając, że wszystkie wybory kolegów są jednakowo możliwe, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P(A_{n}) = \frac{|A_{n}|}{|\Omega|} = \frac{{n\choose 3}^{n} - \sum_{k=1}^{n-3}(-1)^{k-1}\cdot {n\choose k}\cdot {n-k \choose 3}^{n}}{{n\choose 3}^{n}}.}\)
Dla \(\displaystyle{ n = 4}\) osób:
\(\displaystyle{ P(A_{4}) = \frac{{4\choose 3}^{4} - {4\choose 1}{3\choose 3}^{4}}{{4\choose 3}^{4}}.}\)
\(\displaystyle{ P(A_{4}) = \frac{252}{256}= \frac{63}{64}.}\)
Program R
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 98\%}\) ogólnej liczby wyborów, każdy z kolegów zostanie zaproszony co najmniej jeden raz.
\(\displaystyle{ E = E_{1} \cup E_{2} \cup ... \cup E_{n}.}\)
Model etapu \(\displaystyle{ E_{i}, \ \ i=1,2,..., n. i - ty}\) dzień zaproszeń.
\(\displaystyle{ (\Omega_{i}, \ \ 2^{\Omega_{i}}, P_{i}):}\)
\(\displaystyle{ \Omega_{i} = \{\omega: \omega= f: \{1,2,...,n \}\rightarrow \{1,2,3\}, f(i)\neq f(j), i\neq j\}.}\)
\(\displaystyle{ |\Omega_{i}| = C_{n}^{3}= {n\choose 3}.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega_{i}}}\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega_{i}}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{| \Omega_{i}|}= \frac{1}{{n\choose 3}}.}\)
Model \(\displaystyle{ n -}\) etapowego doświadczenia:
\(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P):}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2}\times ... \times \Omega_{n}.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega} = 2^{\sum_{i=1}^{n}\Omega_{i}},}\)
\(\displaystyle{ P(\omega) = P_{1}\cdot P_{2}\cdot ...\cdot P_{n} = \frac{1}{{n\choose 3}^{n}}.}\)
Oznaczenie zdarzenia losowego:
\(\displaystyle{ A_{n}}\) -" każdy z \(\displaystyle{ n}\) kolegów zostanie zaproszony przynajmniej jeden raz"
Do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ A_{n}}\) skorzystamy z ogólnej zasady "włączeń i wyłączeń".
\(\displaystyle{ |A_{n}| = {n\choose 3}^{n} - \sum_{k=1}^{n-3}(-1)^{k-1}\cdot {n\choose k}\cdot {n-k \choose 3}^{n}.}\)
Zakładając, że wszystkie wybory kolegów są jednakowo możliwe, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P(A_{n}) = \frac{|A_{n}|}{|\Omega|} = \frac{{n\choose 3}^{n} - \sum_{k=1}^{n-3}(-1)^{k-1}\cdot {n\choose k}\cdot {n-k \choose 3}^{n}}{{n\choose 3}^{n}}.}\)
Dla \(\displaystyle{ n = 4}\) osób:
\(\displaystyle{ P(A_{4}) = \frac{{4\choose 3}^{4} - {4\choose 1}{3\choose 3}^{4}}{{4\choose 3}^{4}}.}\)
\(\displaystyle{ P(A_{4}) = \frac{252}{256}= \frac{63}{64}.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> A4 = (choose(4,3))^4 - choose(4,1)*(choose(3,3))^4
> A4
[1] 252
> Omega = (choose(4,3))^4
> Omega
[1] 256
> PA4 = A/Omega
> PA4
[1] 0.984375
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 98\%}\) ogólnej liczby wyborów, każdy z kolegów zostanie zaproszony co najmniej jeden raz.