Prawdopodobieństwo warunkowe

[nebhe]

Mógłby ktoś podrzucić jakąś wskazówkę jak zabrać się za takie zadanie?
32 osoby, wśród których są osoby X i Y, ustawia się losowo w kolejce. Następnie osoba X otrzymuje telefon i decyduje się opuścić kolejkę z prawdopodobieństwem 1/9. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przed osobą Y będzie stało co najmniej 8 osób (nie liczymy osoby X, jeśli odeszła z kolejki).

[janusz47]

Doświadczenie losowe polega na losowym ustawianiu się w kolejce 32 osób.

Model doświadczenia losowego

\(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega: \omega = f: \{1,2,...,32\}\rightarrow \{1,2,...,32\}\}.}\)

\(\displaystyle{ |\Omega | = 32!.}\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega} -}\) klasa wszystkich zdarzeń ze zdarzeniem niemożliwym \(\displaystyle{ \emptyset}\) i zdarzeniem pewnym \(\displaystyle{ \Omega.}\)

\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{32!}.}\)

Oznaczenia zdarzeń

\(\displaystyle{ A}\) - "przed osobą \(\displaystyle{ Y}\) będzie stało co najmniej \(\displaystyle{ 8}\) osób".


\(\displaystyle{ A'}\)- "przed osobą \(\displaystyle{ Y}\) stanie mniej niż \(\displaystyle{ 8}\) osób".

\(\displaystyle{ A_{i}}\)- "przed osobą \(\displaystyle{ Y}\) stanie dokładnie \(\displaystyle{ i}\) osób \(\displaystyle{ i=0, 1,2,3,4,5,6,7.}\)"

\(\displaystyle{ A' = A_{0} \cup A_{1} \cup ... \cup A_{7}.}\)

.\(\displaystyle{ X_{s}}\)- "osoba \(\displaystyle{ X}\) stanie w kolejce"

\(\displaystyle{ X_{o}}\)- "osoba \(\displaystyle{ X}\) odejdzie z kolejki".

Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym):

\(\displaystyle{ P(A')=\sum_{i=0}^{7}[ P(X_{s})\cdot P(A_{i}|X_{s} )+ P(X_{o}) \cdot P(A_{i}|X_{o})]}\) (1)

\(\displaystyle{ P(X_{s}) = \frac{8}{9}, \ \ P(X_{o}) = \frac{1}{9}.}\)

Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - P(A')}\) (2)

Proszę obliczyć prawdopodobieństwa warunkowe występujące w (1), \(\displaystyle{ P(A')}\) i ze wzoru (2) \(\displaystyle{ P(A).}\)

[nebhe]

\(\displaystyle{ P \left( A_{0}|X_{s} \right) = \frac{31!}{32!} \cdot \frac{9}{8}= \frac{9}{256} =P \left( A_{1}|X_{s} \right) =...=P \left( A_{7}|X_{s} \right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ P \left( A_{0}|X_{o} \right) = \frac{31!}{32!} \cdot 9= \frac{9}{32} =P \left( A_{1}|X_{o} \right) =...=P \left( A_{7}|X_{o} \right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ P \left( A' \right) =8 \cdot \left( \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{256} + \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{32} \right) = \frac{1}{2}}\)
Co jest niepoprawnego w moim rozumowaniu? Wydaje mi się, że wynik powinien wyjść w granicach \(\displaystyle{ 0,7}\).

Edit: \(\displaystyle{ P \left( A_{i}|X_{o} \right)}\) coś nie gra, bo nie uwzględniłem tego, że osoba X opuszcza kolejkę i będzie mniej osób, ale nie wiem jak to zapisać.

[janusz47]

Narysuj sobie ponumerowane \(\displaystyle{ n}\) osób stojących w kolejce i wśród nich osoby \(\displaystyle{ X, Y}\)

Prawdopodobieństwo, zdarzenia, że między dwoma z góry ustalonymi osobami \(\displaystyle{ X, Y}\) będzie będzie stało dokładnie \(\displaystyle{ r, \ \ (r\leq (n-2) )}\) osób jest równe:

\(\displaystyle{ \frac{2(n- r -1)\cdot (n - 2)!}{n!} = \frac{2(n - r -1)}{(n-1)\cdot n}.}\) (1)
dla

\(\displaystyle{ n =32, \ \ r =0,1,2,3,4,5,6,7 .}\)

Jeśli interesuje nas jeden kierunek kolejki np. przed osobą \(\displaystyle{ Y}\) to we wzorze (1) musimy zrezygnować z dwójki.

Jeśli założymy, że osoba \(\displaystyle{ X}\) otrzymała pilny telefon i musiała opuścić kolejkę, to jak teraz się zmieni to prawdopodobieństwo?

Rozpatrz możliwe przypadki.

Myślę, że teraz dasz sobie radę?

[nebhe]

Czyli, jeśli dobrze zrozumiałem to

\(\displaystyle{ P(A_{0}|X_{s})= \frac{31}{31 \cdot 32}}\)

\(\displaystyle{ P(A_{i}|X_{s})= \frac{31+30+...+23}{31 \cdot 32}}\)

Dla X opuszczającego kolejkę

\(\displaystyle{ P(A_{i}|X_{o})= \frac{30+29+...+22}{31 \cdot 30}}\)

\(\displaystyle{ P(A')= \frac{8}{9} \cdot ( \frac{31+30+...+23}{31 \cdot 32} )+ \frac{1}{9} ( \frac{30+29+...+22}{31 \cdot 30} )=0,245699}\)

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')=0,754301}\)
?

[janusz47]

Ok! Dobrze Ci się wtedy wydało.