Parzystość na kostce

[mol_ksiazkowy]

Wykonuje się kolejne rzuty kostką do gry dopóki po serii nieparzystych oczek będzie jedna parzysta. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby rzutów.

[kerajs]

\(\displaystyle{ E(X)=1 \cdot \frac{1}{2} +2 \cdot \frac{1}{2^2} +3 \cdot \frac{1}{2^3} +4 \cdot \frac{1}{2^4}+.......\\
E(X)=1+ \frac{1}{2}E(X)\\
E(X)=2}\)

Edit:
\(\displaystyle{ E(X)=1 \cdot \frac{1}{2} +2 \cdot \frac{1}{2^2} +3 \cdot \frac{1}{2^3} +4 \cdot \frac{1}{2^4}+.......\\
E(X)=1 \cdot \frac{1}{2} +(1+1) \cdot \frac{1}{2^2} +(1+2) \cdot \frac{1}{2^3} +(1+3) \cdot \frac{1}{2^4}+.......\\
E(X)= \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4}+.......\right) + \frac{1}{2} \left( 1 \cdot \frac{1}{2} +2 \cdot \frac{1}{2^2} +3 \cdot \frac{1}{2^3} +.......\right) \\
E(X)=1+ \frac{1}{2}E(X)\\
E(X)=2}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ E(X)=1+ \frac{1}{2}E(X)}\)

A to skąd się wzięło? Proszę o wyjaśnienie.

Edit:

Ale sprytne! Dziękuję Kerajsowi za wyjaśnienie.