Niech \(\displaystyle{ f:[0,T] \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą o dodatnim wahaniu kwadratowym ( \(\displaystyle{ [f][s,t]>0}\)) dla pewnych \(\displaystyle{ [s,t] \subseteq [0,T]}\). Udowodnij, że wahanie\(\displaystyle{ V_{f}([s,t])=\infty}\)
Dodatkowo mam pokazać na przykładzie ze założenie o ciągłości jest istotne.
Głownie zależy mi na przykładzie.
wahanie funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 242
- Rejestracja: 29 sty 2011, o 16:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Stare Babki
- Podziękował: 60 razy
wahanie funkcji
definicja jest następująca:
\(\displaystyle{ [f](t)== \lim_{\delta_n \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n-1} (f(t_{i+1})-f(t_{i}))^2}\).
Gdzie \(\displaystyle{ \delta_n = \max (t_{i+1}-t_{i})}\)
\(\displaystyle{ [f](t)== \lim_{\delta_n \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n-1} (f(t_{i+1})-f(t_{i}))^2}\).
Gdzie \(\displaystyle{ \delta_n = \max (t_{i+1}-t_{i})}\)
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: wahanie funkcji
Podejdziemy do problemu przez kontrapozycję wykazując, że funkcja ciągła \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [s,t]}\) o skończonym wahaniu ma zerowe wahanie kwadratowe.
Istotnie,
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}[f](\xi ) & = & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \sum\limits_{i=0}^{n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|^2 \\
& \leqslant & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \max\limits_{i\leqslant n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|\cdot \sum\limits_{j=0}^{n-1} |f(t_{\xi+1}) - f(\xi_i)| \\
& \leqslant & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \max\limits_{i\leqslant n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|\cdot \mathsf{Var}_f([s,t]). \end{array}}\)
Z jednostajnej ciągłości \(\displaystyle{ f}\) (ciągłość na przedziale zwartym implikuje jednostajną ciągłość), ostatnia granica istnieje i wynosi 0. Ponieważ wahanie kwadratow jest nieujemne, z twierdznia o trzech ciągach wnosimy, że wynosi ono 0.
Co do kontrprzykładu, weź funkcję która przyjmuje wartość 1 w zerze a poza tym wszędzie wynosi 0.
Istotnie,
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}[f](\xi ) & = & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \sum\limits_{i=0}^{n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|^2 \\
& \leqslant & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \max\limits_{i\leqslant n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|\cdot \sum\limits_{j=0}^{n-1} |f(t_{\xi+1}) - f(\xi_i)| \\
& \leqslant & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \max\limits_{i\leqslant n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|\cdot \mathsf{Var}_f([s,t]). \end{array}}\)
Z jednostajnej ciągłości \(\displaystyle{ f}\) (ciągłość na przedziale zwartym implikuje jednostajną ciągłość), ostatnia granica istnieje i wynosi 0. Ponieważ wahanie kwadratow jest nieujemne, z twierdznia o trzech ciągach wnosimy, że wynosi ono 0.
Co do kontrprzykładu, weź funkcję która przyjmuje wartość 1 w zerze a poza tym wszędzie wynosi 0.