wahanie funkcji

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
joogurcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 29 sty 2011, o 16:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Stare Babki
Podziękował: 60 razy

wahanie funkcji

Post autor: joogurcik »

Niech \(\displaystyle{ f:[0,T] \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą o dodatnim wahaniu kwadratowym ( \(\displaystyle{ [f][s,t]>0}\)) dla pewnych \(\displaystyle{ [s,t] \subseteq [0,T]}\). Udowodnij, że wahanie\(\displaystyle{ V_{f}([s,t])=\infty}\)

Dodatkowo mam pokazać na przykładzie ze założenie o ciągłości jest istotne.
Głownie zależy mi na przykładzie.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Re: wahanie funkcji

Post autor: robertm19 »

Warto skorzystać z procesu Poissona.
joogurcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 29 sty 2011, o 16:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Stare Babki
Podziękował: 60 razy

Re: wahanie funkcji

Post autor: joogurcik »

nic mi to jednak nie mówi.
Nie ma czegoś prostszego?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: wahanie funkcji

Post autor: a4karo »

A co to jest wahanie kwadratowe?
joogurcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 29 sty 2011, o 16:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Stare Babki
Podziękował: 60 razy

wahanie funkcji

Post autor: joogurcik »

definicja jest następująca:


\(\displaystyle{ [f](t)== \lim_{\delta_n \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n-1} (f(t_{i+1})-f(t_{i}))^2}\).

Gdzie \(\displaystyle{ \delta_n = \max (t_{i+1}-t_{i})}\)
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Re: wahanie funkcji

Post autor: Spektralny »

Podejdziemy do problemu przez kontrapozycję wykazując, że funkcja ciągła \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [s,t]}\) o skończonym wahaniu ma zerowe wahanie kwadratowe.

Istotnie,

\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}[f](\xi ) & = & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \sum\limits_{i=0}^{n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|^2 \\
& \leqslant & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \max\limits_{i\leqslant n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|\cdot \sum\limits_{j=0}^{n-1} |f(t_{\xi+1}) - f(\xi_i)| \\
& \leqslant & \lim\limits_{\delta_n\to 0} \max\limits_{i\leqslant n-1} |f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)|\cdot \mathsf{Var}_f([s,t]). \end{array}}\)


Z jednostajnej ciągłości \(\displaystyle{ f}\) (ciągłość na przedziale zwartym implikuje jednostajną ciągłość), ostatnia granica istnieje i wynosi 0. Ponieważ wahanie kwadratow jest nieujemne, z twierdznia o trzech ciągach wnosimy, że wynosi ono 0.

Co do kontrprzykładu, weź funkcję która przyjmuje wartość 1 w zerze a poza tym wszędzie wynosi 0.
ODPOWIEDZ