N rzutów monetą symetryczną - różnica ilości reszek i orłów

[Morfeo]

Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy n rzutach monetą symetryczną, różnica między ilością reszek i orłów będzie wynosić co najmniej k?

Oczywiście n > k.

Znalazłem coś takiego:



Ale niestety nie rozumiem tamtych oznaczeń... Ktoś mógłby wytłumaczyć prościej?

[janusz47]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{n}, \ \ n=1,2,3,...}\) , modelujące - \(\displaystyle{ n}\) rzutów monetą symetryczną mają rozkład Bernoulliego o parametrach \(\displaystyle{ \left ( n, \frac{1}{2}, k\right) ,\ \ n, k \in N ,\ \ n\geq k.}\)

Skorzystamy z Integralnego twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a, przybliżając ich rozkład - standaryzowanym rozkładem normalnym.

\(\displaystyle{ Pr(|S_{n} - (n - S_{n})|\geq k ) = Pr (|2S_{n}-n |\geq k ) = Pr\left(\left |S_{n}-\frac{n}{2}\right| \geq \frac{k}{2}\right)=}\) (prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego)
\(\displaystyle{ = 1 - Pr\left( \left \ | S_{n} - \frac{n}{2}\right \ |< \frac{k}{2} \right) = 1 - Pr\left(\frac{n}{2}-\frac{k}{2}<S_{n}< \frac{n}{2}+\frac{k}{2} \right) = 1 - F\left(\frac{n+k}{2}\right) + F\left(\frac{n-k}{2}\right)= 1 - \phi\left( \frac{\frac{n+k}{2}- n\frac{1}{2}}{\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}}}\right) + \phi\left( \frac{\frac{n-k}{2}- n\frac{1}{2}}{\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}}}\right) = 1 - \phi\left(\frac{k}{2\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}\right) + \phi\left( \frac{-k}{2\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}\right) = 2 - \phi\left( \frac{k}{2\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}}\right).}\)

Proszę podstawić \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}.}\)

[Morfeo]

Dzięki

[janusz47]

Nierówność \(\displaystyle{ P_{1}> P_{2}}\) ( to nie jest równość) wynika bezpośrednio z rozwiązania poprzedniego postu oraz z tego, że dystrybuanta \(\displaystyle{ \phi(\cdot)}\) rozkładu \(\displaystyle{ N(0, 1)}\) jest funkcją rosnącą.