rozkład normalny, chi kwadrat

[adam4990]

Zmienne \(\displaystyle{ X_{1}...X{n}}\) są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie \(\displaystyle{ N(a,k)}\). Wiedząc, że zmienna \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(a, \frac{k}{n})}\), a dla zmiennej \(\displaystyle{ Z=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-Y)^{2}}\), zmienna \(\displaystyle{ \frac{n-1}{k}*Z}\)ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^{2}(n-1)}\) znajdź rozkład zmiennej: \(\displaystyle{ F= \frac{ \sqrt{n}(Y-a)}{ \sqrt{Z} }}\). Zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne.

[Premislav]

Patrz rozkład t-Studenta:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_Studenta

Moim zdaniem zasadnicza część rozwiązania tego zadania to udowodnienie, że zmienne losowe
\(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne. Jest to, jak pisałem na PW, teza twierdzenia Fischera, które już pojawiło się na forum:
154874.htm

Inaczej niż w powyższym linku tego nie umiem udowodnić, choć jak mi się zdaje (i jak pamiętam z jednych zajęć), istnieje też dowód z użyciem własności wielowymiarowego rozkładu normalnego. Możesz zajrzeć
[url=https://www.researchgate.net/publication/264952813_A_simple_proof_of_Fisher's_theorem_and_of_the_distribution_of_the_sample_variance_statistic]tutaj[/url], choć po prawdzie nie analizowałem tego znak po znaku, idea wygląda poprawnie. Jak mamy już tę niezależność, to reszta opiera się po prostu na definicji rozkładu t-Studenta.

[adam4990]

No tak, patrząc na rozkład t-studenta można już poprzekształcać zmienną F i dostajemy taki właśnie rozkład. Dziękuję bardzo