Rozkład ciągły zmiennej losowej

[Rafal_Apr]

Cześć,

mam problem z jednym zadaniem z działu o ciągłych rozkładach zmiennych losowych. Peoblem leży w tym, że jedna zmienna rzeczywiście ma rozkład ciągły, a druga dyskretny. Stąd nie bardzo wiem jak to ugryźć. Oto treść:

Niech \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ S}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że \(\displaystyle{ X}\) będzie miała rozkład wykładniczy oraz \(\displaystyle{ P(S=1)=P(S=-1)=0.5}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=SX}\)

[Premislav]

Narzucająca się hipoteza jest taka, że będzie to rozkład dwustronny wykładniczy (czy tam Laplace'a, jak zwał, tak zwał). Ale może nie uprzedzajmy faktów…
Mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z \le t)=\mathbf{P}(SX \le t)=\mathbf{P}(SX \le t, S=1)+\mathbf{P}(SX \le t, S=-1)=\\=\mathbf{P}(X \le t, S=1)+\mathbf{P}(-X \le t, S=-1)=\\=\mathbf{P}(X \le t)\mathbf{P}(S=1)+\mathbf{P}(-X \le t)\mathbf{P}( S=-1)}\)
gdzie w ostatniej równości skorzystałem z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, S}\).
Dalej powinieneś sobie poradzić (jeżeli nie dasz rady, to pisz).

[janusz47]

Metoda funkcji charakterystycznych

Znajdujemy funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda =?}\)

Znajdujemy funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\) o rozkładzie dwupunktowym z parametrem \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}.}\)

Znajdujemy funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = S X.}\)

Znajdujemy gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z .}\)

[Rafal_Apr]

Ok, więc już mówie w czym problem. Robiłem wcześniej podobnie (może nie tak formalnie) ale doszedłem faktycznie do rezultatu:

\(\displaystyle{ P(X \le t)P(S=1) + P(-X \le t)P(S=-1) = 0.5 \cdot F(x) + 0.5 \cdot F(-x)}\),
gdzie \(\displaystyle{ F(x)}\) to dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie wykładniczym.

\(\displaystyle{ F(z) = 0.5 \cdot F(x) + 0.5 \cdot F(-x) = 0.5(2 - e^{- \alpha x} - e^{\alpha x} )}\)

Teraz obliczam gęstość, nawet zweryfikowałem to na Wolfram alpha:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%281-0.5*%28e%5E%28-a*x%29%2Be%5E%28a*x%29%29%29%2Fdx

I taki wynik już faktycznie dostałem a w odpowiedziach jest niestety trochę inaczej, chyba że mam zaćmienie i albo coś źle robię albo wyniki są równowazne. W książce jest:
\(\displaystyle{ f(z) = 0.5e^{- \alpha \left| x \right| }}\)

Chyba, że to błąd w odpowiedziach?

[Premislav]

\(\displaystyle{ P(X \le t)P(S=1) + P(-X \le t)P(S=-1) = 0.5 \cdot F(x) + 0.5 \cdot F(-x)}\)

Czegoś tu nie rozumiem. Czym ma być małe \(\displaystyle{ x}\)?
Jeżeli \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\), to mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le t)\mathbf{P}(S=1) + \mathbf{P}(-X \le t)\mathbf{P}(S=-1) =\frac 1 2F(t)+\frac 1 2\left( 1-F(-t)\right)=\\= \begin{cases} \frac 1 2(1-e^{-\lambda t})+\frac 1 2 \text{ gdy }t>0\\ \frac 1 2e^{\lambda t} \text{ gdy }t\le 0\end{cases}}\)
bo \(\displaystyle{ \mathbf{P}(-X \le t)=\mathbf{P}(X \ge -t)=1-\mathbf{P}(X<t)=1-\mathbf{P}(X\le t)}\)
(ostatnia równość wynika z tego, że \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład ciągły, a więc dla każdego \(\displaystyle{ t \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=t)=0}\)).-- 2 paź 2017, o 13:25 --A to z odpowiedzi (o ile dobrze przepisałeś) to nawet nie jest gęstość, powinna wyjść taka gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\):
\(\displaystyle{ f(z)=\frac 1 2 \lambda e^{-\lambda|z|}}\) (czy tam \(\displaystyle{ \alpha}\), zależy jak kto oznacza ten parametr w rozkładzie wykładniczym, powszechnie przyjęło się jednak \(\displaystyle{ \lambda}\)).

[Rafal_Apr]

Kurcze, aż mi głupio teraz... Faktycznie, durne błędy zrobiłem. Dzięki, poleciał punkt za pomoc.