wartosc oczekiwana i dystrybuanta c*arctan

[mattrenerka]

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ c}\) funkcja jest gęstością prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} c \cdot \arctan (x) &\mbox{dla }x \in (0,1) \\ 0 &\mbox{dla pozostałych }x \end{cases}}\)

I niestety nie mam pojęcia jak się zabrać za określenie tego parametru

[Premislav]

Gęstość musi być nieujemna i całkować się do \(\displaystyle{ 1}\), czyli rozwiązujesz równanie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} c \arctan x \,\dd x=1}\),
przy czym chcesz aby było \(\displaystyle{ c\arctan x>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) (a więc musi być \(\displaystyle{ c>0}\)).
Warto więc policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\arctan x \,\dd x}\)
Można to zrobić przez części:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \arctan x \,\dd x= \int_{}^{} (x)'\arctan x \,\dd x=x\arctan x-\ldots}\)