Prawdopodobieństwo geometryczne. W koło wpisano trójkat

[sirtepek]

Dzień dobry.
Zadanie:
W koło wpisano trójkąt którego jeden bok jest średnicą koła i wiadomo, że długości boków trójkąta pozostają w stosunku 5:4:3. Na koło rzucono w sposób losowy 20 punktów. Obliczyć prawdopodobieństwo że co najmniej 2 z nich znalazły się wewnątrz trójkąta.

Proszę o rozpisanie krok po kroku rozwiązania zadania.
Pozdrawiam

[Premislav]

Trójkąt wpisany w okrąg, którego jeden bok jest średnicą tegoż okręgu, to trójkąt prostokątny (a ta średnica to jego przeciwprostokątna), bo kąt środkowy ma dwukrotnie większą miarę niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku. Niech \(\displaystyle{ R}\) - promień koła, wówczas ten trójkąt wpisany w koło ma boki \(\displaystyle{ 3x,4x, 5x}\) (tak, wiem, koło to nie to samo co okrąg, ale chyba jest jasne, o co mi chodzi), przy czym \(\displaystyle{ 2R=5x}\), stąd pole trójkąta wynosi \(\displaystyle{ \frac 1 2\cdot \frac 6 5 R\cdot \frac 8 5 R=\frac{24}{25}R^2}\), zaś pole koła, w które ten trójkąt wpisano wynosi \(\displaystyle{ \pi R^2}\). Zatem nawalając punkt z koła, z prawdopodobieństwem
\(\displaystyle{ \frac{\frac{24}{25}R^2}{\pi R^2} =\frac{24}{25\pi}}\) trafimy w trójkąt (z wnętrzem).
Mamy więc rozkład dwumianowy z \(\displaystyle{ n=20, \ p=\frac{24}{25\pi}}\)
i szukane prawdopodobieństwo wynosi
\(\displaystyle{ 1-{20 \choose 0}p^0(1-p)^{20}-{20\choose 1}p^1(1-p)^{19}=\ldots}\)
a tego już ładniej niż na kompie nie wyliczymy, bo to \(\displaystyle{ \pi}\) się pałęta.