Mam największego pecha. Niech \(\displaystyle{ X_0}\) oznacza mój czas oczekiwania, związany z pewnym doświadczeniem, w którym bierze udział więcej osób. Ile osób muszę zapytać, aby znaleźć taką, która czeka dłużej niż ja?
Formalnie: niech \(\displaystyle{ \{X_i\}^\infty_{i=0}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym ciągłym rozkładzie, zaś \(\displaystyle{ N = \inf \{k:X_k > X_0\}}\). Twierdzę, że \(\displaystyle{ N}\) ma nieskończoną wartość oczekiwaną. Zdarzenie \(\displaystyle{ A:\{N > n-1\}}\) polega na tym, że maksymalny wyraz ciągu \(\displaystyle{ X_0, X_1, ... , X_{n-1}}\) pojawi się na 1. miejscu. Ze względu na symetrię mamy \(\displaystyle{ P(A) = 1/n}\), więc
\(\displaystyle{ P(N = n) = P(N > n-1) - P(N > n) = \frac{1}{n(n+1)}}\)
i
\(\displaystyle{ EN = \sum_{n=1}^\infty n \cdot \frac{1}{n(n+1)} = \infty}\)
Czy z tym rozumowaniem jest wszystko w porządku?