Prawdopodobieństwo warunkowe i dwuwymiarowa zmienna losowa

[Jarek753]

Witam, mam do problem z dwoma zadaniami:

1.W fabryce produkuje się dwa rodzaje śrubek. Wylosowano dwie śrubki. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch identycznych śrubek wynosi p, a wylosowania śrubki pierwszego rodzaju wynosi q. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że jedna ze śrubek jest pierwszego rodzaju, jeżeli wiadomo, że druga też jest pierwszego rodzaju.

Moje rozumowanie jest takie:
A-pierwsza śrubka jest pierwszego rodzaju
B-druga śrubka jest pierwszego rodzaju
C-jedna ze śrubek jest pierwszego rodzaju

\(\displaystyle{ P(C)=P(B| \neg A)= \frac{P(B \cup \neg A)}{P( \neg A)}=\frac{q(1-q)}{(1-q)}=q}\)
ale jakoś temu nie ufam.

2.Dwuwymiarowy rozkład pary zmiennych losowych ƞ oraz ƺ dany jest za pomocą tablicy
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccccc}
&&\eta\\
&&-1&1&2\\
&-2&0.1&0.06&0.08\\
\xi&-1&0.27&0.05&0.17&\\
&1&0.02&0.05&0.07&\\
&2&0.03&0.04&0.06&
\end{array}}\)

Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2,\ldots,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, co zmienna losowa \(\displaystyle{ \eta^2}\).
a) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ \eta^2,\; E \eta^2}\) oraz \(\displaystyle{ D^2 \eta^2.}\)
b) Oszacować \(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^n X_i>2200)}\) dla n=1000.

Ad. a) Wydaje mi się że rozkład będzie taki:

\(\displaystyle{ \begin{array}{cccc}
&& \eta^2\\
&&1&4\\
&-2&0.16&0.08\\
\xi&-1&0.32&0.17\\
&1&0.07&0.07\\
&2&0.07&0.06
\end{array}}\)

Ale jak teraz policzyć wartość oczekiwaną i wariancję?

Ad. b) Wystarczy skorzystać z centralnego twierdzenia granicznego jak już będę mieć a), tak?

Bardzo proszę o pomoc.

[janusz47]

Zadanie 1

Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym losowaniu dwóch z pojemnika zawierającego \(\displaystyle{ n\in N_{+}}\) kulek.

Oznaczenie zdarzeń:

\(\displaystyle{ I}\) - " wylosowanie kulki pierwszego rodzaju";
\(\displaystyle{ II}\) - " wylosowanie kulki drugiego rodzaju".

Model doświadczenia:

\(\displaystyle{ ( \Omega, 2^{\Omega}, P),}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \Omega =\{ (I,I), (I, II), (II , II) \}.}\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) łącznie ze zdarzeniem pewnym \(\displaystyle{ \Omega}\) i niemożliwym \(\displaystyle{ \{\emptyset \}.}\)

\(\displaystyle{ P -}\) rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)

Dane wynikające z treści zadania:

\(\displaystyle{ P(I) = q, \ \ P(II) = 1- q, \ \ P(\{I,I\}) + P(\{II, II\})= p}\) (1)

Proszę w oparciu o dane (1) , wprowadzając ilość kulek \(\displaystyle{ n}\) znajdujących się w pojemniku,

obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe:

\(\displaystyle{ P(I|I) = \frac{P(I, I)}{P(I,I) +P(I, II)}}\) (2)

i zinterpretować otrzymaną wartość prawdopodobieństwa.

Należy zauważyć, że występujące we wzorze (2) prawdopodobieństwa pochodzą z rozkładów hipergeometrycznych.

Zadanie 2

a)
Tworzymy na podstawie tabelki rozkład brzegowy zmiennej losowej\(\displaystyle{ \eta}\) ( nie może w tym rozkładzie występować zmienna losowa \(\displaystyle{ \xi}\)).

Znajdujemy rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \eta^2.}\)

Korzystamy ze wzoru na wartość oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej, obliczając \(\displaystyle{ E(\eta^2).}\)

Korzystamy ze wzoru na wariancję np. \(\displaystyle{ D^2(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 .}\)

b)
Korzystamy z CTG.

[Jarek753]

Dzięki! Chyba wszystko rozumiem. janusz47, powiedz mi tylko czy w zadaniu 1, powinienem w wyniku zostawić to wprowadzone \(\displaystyle{ n}\)? Czy da się je jakoś wyliczyć? Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka nigdy nie były moją mocną stroną niestety.

[janusz47]

W danych zadania nie występuje \(\displaystyle{ n}\) ilość śrubek. Najpierw znajdź związek \(\displaystyle{ p(q) \ \ n}\) powinno się zredukować.