Oblicz dystrybuantę dla zmiennej losowej ciągłej

[s147698]

Zmienna losowa ma rozkład o gęstości:

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} x \cdot e ^{-x} &\mbox{dla } x\ge 0 \\ 0 &\mbox{dla } x<0 \end{cases}}\)

Oblicz jej dystrybuantę.-

[Premislav]

Tak właściwie nie wiem, w czym problem. Dystrybuanta rozkładu ciągłego to całka z gęstości.
Dla \(\displaystyle{ t\le 0}\) będzie to oczywiście w tym przypadku zero (całka oznaczona z funkcji zerowej), zaś dla \(\displaystyle{ t>0}\) pojawi się taka całeczka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} xe^{-x} \,\dd x=-xe^{-x}\bigg|^{x=t}_{x=0}+ \int_{0}^{t} e^{-x}\,\dd x=\\=1-(t+1)e^{-t}}\)
Po prostu scałkowałem przez części. Zatem ogólnie dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej o takiej gęstości wygląda tak:
dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), dla \(\displaystyle{ t>0}\) wynosi \(\displaystyle{ 1-(t+1)e^{-t}}\)
Przy okazji: często gęsto (:P) funkcje gęstości oznacza się małymi literami, a dystrybuanty dużymi (oczywiście napisać tak jak w treści, którą podałeś to nie jest błąd).