Prawdopodobieństwo geometryczne oraz zmienne losowo

[Rafal_Apr]

Cześć,

przerabiam sobie zbiorek zadań doc rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej i utknąłem na dwóch zadaniach.

1. Na odcinku \(\displaystyle{ [0;1]}\)umieszczono losowo trzy punkty \(\displaystyle{ L,M,K}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ L \le M \le K}\)?

Zadanie jest oczywiście na prd. geometryczne, z tymże w przypadku dwóch punktów narysowałbym po prostu obszary, obliczył ich pola i podzielił przez pole całego kwadratu. Jak mam 3 punkty to dostaję bryłę (ostrosłup) o objętości \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Objętość jednostkowego sześcianu to również \(\displaystyle{ 1}\) czyli prawdopodobieństwo wynikowe to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Z kolei w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\). Gdzie robię błąd?

2. Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ P(X=c)=1}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest pewną stałą, to zmienna losowa X i dowolna zmienna losowa Y są niezależne.
Proszę o wskazówkę jak zacząć, aby zostało mi trochę przyjemności z rozwiązania zadania

Pozdrawiam i dziękuje za pomoc

[Premislav]

2. Niech \(\displaystyle{ A,B}\) - dowolne borelowskie podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\). Rozpisz sobie, co to będzie
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \in A, Y \in B)}\) (powinno wyjść, że to jest to samo, co \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \in A)\mathbf{P}(Y\in B)}\)). Rozważ przypadek, w którym \(\displaystyle{ c \in A}\) oraz ten, w którym \(\displaystyle{ c \notin A}\).

[kerajs]

1.
Omega w układzie LMK to sześcian o wierzchołkach: \(\displaystyle{ (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)}\) i objętości \(\displaystyle{ 1}\).
Spełniająca warunki bryła (odcięta od sześcianu płaszczyznami \(\displaystyle{ l=m}\) i \(\displaystyle{ m=k}\)) to ostrosłup o wierzchołkach: \(\displaystyle{ (0,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,1)}\) i objętości \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ \frac{1}{6} }{1}= \frac{1}{6}}\)