Schemat Bernoulliego

[Lemon1909]

Witam mam pewien problem z rozwiązaniem zadania:
Z talii 52 kart losujemy pięć razy po jednej karcie, zwracając za każdym razem wylosowaną kartę do talii. Korzystając ze schematu Bernoulliego i jego własności oblicz najbardziej prawdopodobną liczbę kart koloru kier w pięciu losowaniach.

Nie wiem czy dobrze zrozumiałem to zadanie że mam obliczyć wszystkie możliwości wylosowania kiera i wskazania najbardziej prawdopodobnej konfiguracji czy może inne podejście należy tutaj pojąć jeżeli tak to prosiłbym o podpowiedź

\(\displaystyle{ P(s=1)= {5 \choose 1} \cdot \frac{13}{52} ^{1} \cdot \frac{39}{52} ^{4}}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ P(s=5)= {5 \choose 5} \cdot \frac{13}{52} ^{5} \cdot \frac{39}{52} ^{0}}\)

[loitzl9006]

Liczba prób \(\displaystyle{ n=5}\)
Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie \(\displaystyle{ p=\frac{13}{52}=\frac14}\)
Prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie \(\displaystyle{ q=1-p=\frac34}\)
Liczba sukcesów (liczba kierów) \(\displaystyle{ k}\).
Liczba porażek (liczba nie-kierów) \(\displaystyle{ 5-k}\).

\(\displaystyle{ P(s=k)= {5 \choose k}\cdot \left( \frac14\right)^k\cdot\left( \frac34\right)^{5-k}\\ P(s=k)={5 \choose k}\cdot \frac{\left( \frac14\right)^k\cdot \left( \frac34\right)^{5}}{\left( \frac34\right)^k }\\ P(s=k)= {5 \choose k} \cdot \left( \frac13\right)^k\cdot \left( \frac34\right)^5}\)

Zwracamy uwagę na zachowanie się iloczynu \(\displaystyle{ {5 \choose k} \cdot \left( \frac13\right)^k}\)

Funkcja \(\displaystyle{ \left( \frac13\right)^k}\) jest malejąca
Ponadto z własności \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\) dostajemy że
\(\displaystyle{ {5 \choose 0} = {5 \choose 5} \\ {5 \choose 1} = {5 \choose 4} \\ {5 \choose 2} = {5 \choose 3}}\)
co wyklucza \(\displaystyle{ k=3, \ k=4, \ k=5}\).

Ponieważ
\(\displaystyle{ {5 \choose 0}=1, \ \ \ \left(\frac13 \right)^0=1 \ \ \ \to \ 1\cdot1=1 \\ {5 \choose 1}=5, \ \ \ \left( \frac13\right)^1=\frac13 \ \ \ \to \ 5\cdot\frac13=\frac53\\ {5 \choose 2}=10, \ \ \ \left( \frac13\right)^2=\frac19\ \ \ \to \ 10\cdot\frac19=\frac{10}9 \\ 1<\frac{10}9<\frac53}\)

to najbardziej prawdopodobne jest że wylosujemy dokładnie jednego kiera

[huciaa]

A czy mając prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie i wiedząc że wartością oczekiwaną w schemacie Bernoulliego jest n*p, liczba doświadczeń*prawdopodobieństwo w jednej próbie można obliczyć wartość oczekiwaną?

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}}\)

Nie można wylosować ćwiartki karty więc zostajemy przy jednym kierze.

[Premislav]

Niestety tak nie można. Wartość oczekiwana w ogólności nie musi mieć wiele wspólnego z najbardziej prawdopodobną wartością (zdarzeniem elementarnym, którego prawdopodobieństwo jest największe).

W schemacie Bernoulliego (powiedzmy \(\displaystyle{ n}\) prób) z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}\)
Jeżeli oznaczymy \(\displaystyle{ f(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}, k=1, \ldots n}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{f(k+1)}{f(k)}= \frac{{n \choose k+1}}{{n \choose k}} \frac{p}{1-p}= \frac{n-k}{k+1} \frac{p}{1-p}}\)
(lepiej sprawdzić rachunki, bo nie umiem liczyć ). Mamy więc
\(\displaystyle{ \frac{f(k+1)}{f(k)}>1 \Leftrightarrow \frac{n-k}{k+1} \frac{p}{1-p}
>1}\)
i rozwiązujemy to jako nierówność zmiennej \(\displaystyle{ k}\).
Mnie wyszło, że \(\displaystyle{ k<np-(1-p)}\). Skoro tak, to
\(\displaystyle{ k}\) maksymalizującego takie prawdopodobieństwo jak w zadaniu należałoby szukać w pobliżu \(\displaystyle{ np-(1-p)}\), dokładniej \(\displaystyle{ k}\) jest równe
\(\displaystyle{ \left\lfloor np-(1-p)\right\rfloor}\) lub \(\displaystyle{ \left\lceil np-(1-p)\right\rceil}\)
(podłoga i sufit liczby, jakby ktoś nie kojarzył tych oznaczeń), w zależności od tego, dla którego \(\displaystyle{ k}\) większe jest
\(\displaystyle{ {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}\)
Tutaj akurat \(\displaystyle{ n=5, p=\frac 1 4}\) i łatwo dostajemy \(\displaystyle{ k=1}\).