Czy kolega powiedział prawdę?

[a4karo]

Wykładowca przygotował na egzamin 10 pytań. Na egzaminie losuje się jedno pytanie, które nie wraca do puli.
Przygotowywałeś się do egzaminu z kolegą, więc wiesz, że każdy z was zna odpowiedź na 5 tych samych pytań.

Kolega wchodzi pierwszy. Po dziesięciu minutach wychodzi uśmiechnięty i oświadcza, że zdał. Następny wchodzisz Ty i zdajesz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolega skłamał?

[loitzl9006]

Na czerwono oznaczyłem zdarzenia które mogły się wydarzyć
na czerwono-zielono zdarzenia sprzyjające (czyli że skłamał)

1) Kolega mógł zdać albo mógł nie zdać

2) Kolega mógł powiedzieć prawdę albo nie powiedzieć prawdy.
Jednak to że po egzaminie był zadowolony (mówił że zdał) ogranicza nas do dwóch przypadków
a) (zdał i powiedział że zdał) - droga \(\displaystyle{ (Z,T)}\) na drzewku patrząc od góry,
b) (nie zdał i powiedział że zdał) - droga \(\displaystyle{ (N,N)}\).

3) Wiem, że zdałem - czyli przypadek a) wygląda tak: \(\displaystyle{ (Z,T,Z)}\) zaś b) musi być \(\displaystyle{ (N,N,Z)}\)
Pytanie wylosowane przez kolegę nie wraca do puli więc mi zostaje już \(\displaystyle{ 9}\) pytań.
a) Jeśli kolega naprawdę zdał, to pytań na które umiem odpowiedzieć zostaje \(\displaystyle{ 4}\) więc prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac49}\)
b) Jeśli kolega nie zdał, to w puli jest dalej \(\displaystyle{ 5}\) pytań na które znam odpowiedź stąd na drzewku mam \(\displaystyle{ \frac59}\)

I dalej sobie liczę \(\displaystyle{ \Omega}\) czyli wszystkie zdarzenia (czerwone):

\(\displaystyle{ \Omega=\frac5{10}\cdot \frac12\cdot \frac49+\frac5{10}\cdot \frac12\cdot \frac59=\frac9{36}}\)

Zdarzenie sprzyjające (że skłamał) czerwono-zielone:
\(\displaystyle{ A=\frac5{10}\cdot\frac12\cdot \frac59=\frac5{36}}\)

\(\displaystyle{ P=\frac A\Omega=\frac{\frac5{36}}{\frac9{36}} = \frac59}\)

[kropka+]

A skąd wiesz, że on kłamie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)? Lepiej unikać takich kolegów

[loitzl9006]

Z życia

Ale racja, nie było podane w zadaniu

Jeśli założę że prawdopodobieństwo skłamania wynosi \(\displaystyle{ p}\) a powiedzenia prawdy \(\displaystyle{ (1-p)}\) to wychodzi że odpowiedzią do zadania jest \(\displaystyle{ P=\frac{5p}{p+4}}\)

[a4karo]

Nie mona zakłądać, że on kłąmie z jakimś prawdopodobieństwem, tylko trzeba to prawdopodobieństwo wyliczyć

[Premislav]

Proste. Zaraz wyjaśnię, czemu kolega kłamie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 1 2}\). Miał takie możliwości:
skłamać albo nie skłamać i wybrał jedną z nich. Cytując uznany podręcznik:
Czy jutro będzie słoneczna pogoda? Są dwie możliwości: będzie, albo nie. Słoneczna pogoda, to jedna z dwóch możliwości, więc jej prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac 12}\).
xDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

[loitzl9006]

Jednak warto czytać te uznane podręczniki, żeby nie tracić godziny czasu (jak ja) na tak proste zadania

\(\displaystyle{ \frac5{10}\cdot(1-p)\cdot\frac49+\frac5{10}\cdot p\cdot\frac59=1\\ \\ ... \\ \\ p=\frac12}\)

[a4karo]

I tu się niestety mylisz: załóżmy, że obaj znają odpowiedź na JEDNO pytanie. Wtedy jest 100% pewności, że skłamał, nieprawdaż?

[loitzl9006]

Ale było podane że znamy odpowiedź na pięć pytań, a nie na tylko jedno

[a4karo]

Ale było podane że znamy odpowiedź na pięć pytań, a nie na tylko jedno

To była raczej odpowiedź do Premislava...

A z Twojego rachunku połówka nie wychodzi

[loitzl9006]

Musi wyjść konkretna wartość liczbowa ?

[a4karo]

Tak. Ale prawdopodobieństwo równe 14 just słabe dość.

Odpowiedź \(\displaystyle{ 5/9}\) jest poprawna.

Ogólnej :jeżeli w zestawie jest \(\displaystyle{ n}\) pytań, a znanych jest \(\displaystyle{ k}\) odpowiedzi, to prawdopodobieństwo kłamstwa jest równe \(\displaystyle{ \frac{n-k} {n-1}}\)