Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
jezzy17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: jezzy17 »

Na znak dwóch strzelców oddaje strzał do tej samej tarczy, wygrywa ten który trafi jako pierwszy. Ich czasy reakcji mają rozkłady wykładnicze.
Czas reakcji pierwszego wynosi średnio 1/3 sekundy a drugiego 1/6. Pierwszy strzelec trafia 7 na 8 strzałów natomiast drugi 14 na 15.
Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania pierwszego?

Jakieś sugestie? Myślę nad tym od paru dni i nie mam żadnego pomysłu.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: janusz47 »

Doświadczenie losowe polega na:

na znak oddaniu strzału przez dwóch strzelców \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}}\) do wspólnej tarczy.

Założenia:

Strzelcy oddają strzał niezależnie jeden od drugiego.

Czasy ich reakcji są niezależne od siebie.

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ t_{1}}\) - czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{1},}\)

\(\displaystyle{ t_{2}}\) - czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{2}.}\)

Z treści zadania:

\(\displaystyle{ t_{1} \sim Exp\left( \frac{1}{3}s \right),}\)

\(\displaystyle{ t_{2} \sim Exp\left( \frac{1}{6}s \right).}\)

Gęstości brzegowe:

\(\displaystyle{ f_{t_{1}}(t) = \frac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}t_{1}},}\)

\(\displaystyle{ f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{6}e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.}\)

Gęstość rozkładu łącznego czasów reakcji:

\(\displaystyle{ f_{(t_{1}, t_{2})}(t) = f_{t_{1}}(t)\cdot f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3}-\frac{t{2}}{6}}.}\)

Prawdopodobieństwo, zdarzenia

\(\displaystyle{ C= \{(t_{1},t_{2}): t_{1}< t_{2}, \ \ t_{1}, t_{2}>0\}}\),

że czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{1}}\) jest mniejszy od czasu reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{2}.}\)

wynosi

\(\displaystyle{ P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .}\)

Oznaczenie zdarzeń losowych:

\(\displaystyle{ S_{1}^{+}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{1}}\) trafił w tarczę,

\(\displaystyle{ S_{2}^{+}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{2}}\) trafił w tarczę,

\(\displaystyle{ S_{2}^{-}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{2}}\) nie trafił w tarczę,

\(\displaystyle{ W -}\) strzelec \(\displaystyle{ S_{1}}\) - wygrał.

Proszę obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ W - P(W),}\) uwzględniając wszystkie możliwe przypadki, kiedy może zajść to zdarzenie.
jezzy17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: jezzy17 »

Czyli teraz wystarczy policzyć \(\displaystyle{ P(W) = P(C) * P(S_{1}^{+}) + P(C')*(S_{2}^{-})*P(S_{1}^{+})}\) ?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: janusz47 »

Pierwszy składnik sumy ok , w drugim brak literki P i jeszcze mamy trzeci przypadek

\(\displaystyle{ P(C)\cdot P(S_{2}^{-})\cdot P(S_{1}^{+}).}\)
jezzy17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: jezzy17 »

Racja zapomniałem o \(\displaystyle{ P}\). Co do trzeciego przypadku bije się w pierś że o nim nie pomyślałem. Jeszcze ostatnie pytanie czy \(\displaystyle{ P(C)}\) dałoby się policzyć w jakiś prostszy sposób niż całką podwójną? Pytam gdyż miałem ją na wykładach potraktowaną nieco po macoszemu. Może wzór na dystrybuatnę rozkładu wykładniczego ?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: janusz47 »

Możemy policzyć ze wzoru na dystrybuantę łączną. Ale bardziej mi odpowiada metoda gęstości.
jezzy17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: jezzy17 »

No dobra to zostanę przy tym. Dziękuję bardzo za pomoc.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: janusz47 »

Z określenia dystrybuant brzegowych dla zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych:

\(\displaystyle{ F_{t_{1}}(t_{1}) = 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}}.}\)

\(\displaystyle{ F_t_{2}}(t_{2}) = 1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.}\)

Dystrybuanta łączna:

\(\displaystyle{ F(t_{1}, t_{2}) = F_{t_{1}}\cdot F_{t_{2}}= ( 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}})(1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}})=...}\)

Proszę obliczyć prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ P(\{t_{1} <t_{2}\}) = P(\{t_{1}- t_{2} <0\}) = ...}\)
jezzy17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: jezzy17 »

Posiedziałem nad tym trochę i mam pytanie co do tego:
\(\displaystyle{ P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .}\)
Czy to jest na pewno nasze \(\displaystyle{ P(C)}\)? Podobno powinno ono wyjść 1/3 a nie 2/3.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: janusz47 »

Prawdopodobieństwo zdarzenia:

\(\displaystyle{ \{(t_{1}, t_{2}): t_{1}\geq t_{2}, \ \ t_{1}, t_{2}>0 \}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}.}\)
jezzy17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: jezzy17 »

No tak wynika z tych obliczeń. Wynik całki oczywiście poprawny, jednak nie jestem przekonany czy sama całka podwójna sprawi że wynik będzie spełniał drugie kryterium.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: janusz47 »

Co to znaczy, że " czy sama całka sprawi, że wynik będzie spełniał drugie kryterium?"

Jeśli czas reakcji pierwszego ze strzelców będzie mniejszy od czasu reakcji drugiego, to wieksza jest szansa jego trafienia w tarczę.
jezzy17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: jezzy17 »

No to rozumiem ale nie do końca wiem skąd takie granice całkowania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu

Post autor: janusz47 »

Rysujemy w układzie współrzędnych \(\displaystyle{ 0 t_{1} t_{2}}\) prostą \(\displaystyle{ t_{1}= t_{2}.}\) Całkujemy po półpłaszczyźnie otwartej \(\displaystyle{ t_{1}<t_{2}}\) leżącej poniżej prostej \(\displaystyle{ y = t_{2}}\) (proszę wykonać rysunek).
ODPOWIEDZ