Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Na znak dwóch strzelców oddaje strzał do tej samej tarczy, wygrywa ten który trafi jako pierwszy. Ich czasy reakcji mają rozkłady wykładnicze.
Czas reakcji pierwszego wynosi średnio 1/3 sekundy a drugiego 1/6. Pierwszy strzelec trafia 7 na 8 strzałów natomiast drugi 14 na 15.
Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania pierwszego?
Jakieś sugestie? Myślę nad tym od paru dni i nie mam żadnego pomysłu.
Czas reakcji pierwszego wynosi średnio 1/3 sekundy a drugiego 1/6. Pierwszy strzelec trafia 7 na 8 strzałów natomiast drugi 14 na 15.
Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania pierwszego?
Jakieś sugestie? Myślę nad tym od paru dni i nie mam żadnego pomysłu.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Doświadczenie losowe polega na:
na znak oddaniu strzału przez dwóch strzelców \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}}\) do wspólnej tarczy.
Założenia:
Strzelcy oddają strzał niezależnie jeden od drugiego.
Czasy ich reakcji są niezależne od siebie.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ t_{1}}\) - czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{1},}\)
\(\displaystyle{ t_{2}}\) - czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{2}.}\)
Z treści zadania:
\(\displaystyle{ t_{1} \sim Exp\left( \frac{1}{3}s \right),}\)
\(\displaystyle{ t_{2} \sim Exp\left( \frac{1}{6}s \right).}\)
Gęstości brzegowe:
\(\displaystyle{ f_{t_{1}}(t) = \frac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}t_{1}},}\)
\(\displaystyle{ f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{6}e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.}\)
Gęstość rozkładu łącznego czasów reakcji:
\(\displaystyle{ f_{(t_{1}, t_{2})}(t) = f_{t_{1}}(t)\cdot f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3}-\frac{t{2}}{6}}.}\)
Prawdopodobieństwo, zdarzenia
\(\displaystyle{ C= \{(t_{1},t_{2}): t_{1}< t_{2}, \ \ t_{1}, t_{2}>0\}}\),
że czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{1}}\) jest mniejszy od czasu reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{2}.}\)
wynosi
\(\displaystyle{ P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .}\)
Oznaczenie zdarzeń losowych:
\(\displaystyle{ S_{1}^{+}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{1}}\) trafił w tarczę,
\(\displaystyle{ S_{2}^{+}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{2}}\) trafił w tarczę,
\(\displaystyle{ S_{2}^{-}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{2}}\) nie trafił w tarczę,
\(\displaystyle{ W -}\) strzelec \(\displaystyle{ S_{1}}\) - wygrał.
Proszę obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ W - P(W),}\) uwzględniając wszystkie możliwe przypadki, kiedy może zajść to zdarzenie.
na znak oddaniu strzału przez dwóch strzelców \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}}\) do wspólnej tarczy.
Założenia:
Strzelcy oddają strzał niezależnie jeden od drugiego.
Czasy ich reakcji są niezależne od siebie.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ t_{1}}\) - czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{1},}\)
\(\displaystyle{ t_{2}}\) - czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{2}.}\)
Z treści zadania:
\(\displaystyle{ t_{1} \sim Exp\left( \frac{1}{3}s \right),}\)
\(\displaystyle{ t_{2} \sim Exp\left( \frac{1}{6}s \right).}\)
Gęstości brzegowe:
\(\displaystyle{ f_{t_{1}}(t) = \frac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}t_{1}},}\)
\(\displaystyle{ f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{6}e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.}\)
Gęstość rozkładu łącznego czasów reakcji:
\(\displaystyle{ f_{(t_{1}, t_{2})}(t) = f_{t_{1}}(t)\cdot f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3}-\frac{t{2}}{6}}.}\)
Prawdopodobieństwo, zdarzenia
\(\displaystyle{ C= \{(t_{1},t_{2}): t_{1}< t_{2}, \ \ t_{1}, t_{2}>0\}}\),
że czas reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{1}}\) jest mniejszy od czasu reakcji strzelca \(\displaystyle{ S_{2}.}\)
wynosi
\(\displaystyle{ P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .}\)
Oznaczenie zdarzeń losowych:
\(\displaystyle{ S_{1}^{+}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{1}}\) trafił w tarczę,
\(\displaystyle{ S_{2}^{+}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{2}}\) trafił w tarczę,
\(\displaystyle{ S_{2}^{-}}\) - strzelec \(\displaystyle{ S_{2}}\) nie trafił w tarczę,
\(\displaystyle{ W -}\) strzelec \(\displaystyle{ S_{1}}\) - wygrał.
Proszę obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ W - P(W),}\) uwzględniając wszystkie możliwe przypadki, kiedy może zajść to zdarzenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Czyli teraz wystarczy policzyć \(\displaystyle{ P(W) = P(C) * P(S_{1}^{+}) + P(C')*(S_{2}^{-})*P(S_{1}^{+})}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Pierwszy składnik sumy ok , w drugim brak literki P i jeszcze mamy trzeci przypadek
\(\displaystyle{ P(C)\cdot P(S_{2}^{-})\cdot P(S_{1}^{+}).}\)
\(\displaystyle{ P(C)\cdot P(S_{2}^{-})\cdot P(S_{1}^{+}).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Racja zapomniałem o \(\displaystyle{ P}\). Co do trzeciego przypadku bije się w pierś że o nim nie pomyślałem. Jeszcze ostatnie pytanie czy \(\displaystyle{ P(C)}\) dałoby się policzyć w jakiś prostszy sposób niż całką podwójną? Pytam gdyż miałem ją na wykładach potraktowaną nieco po macoszemu. Może wzór na dystrybuatnę rozkładu wykładniczego ?
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
No dobra to zostanę przy tym. Dziękuję bardzo za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Z określenia dystrybuant brzegowych dla zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych:
\(\displaystyle{ F_{t_{1}}(t_{1}) = 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}}.}\)
\(\displaystyle{ F_t_{2}}(t_{2}) = 1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.}\)
Dystrybuanta łączna:
\(\displaystyle{ F(t_{1}, t_{2}) = F_{t_{1}}\cdot F_{t_{2}}= ( 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}})(1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}})=...}\)
Proszę obliczyć prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P(\{t_{1} <t_{2}\}) = P(\{t_{1}- t_{2} <0\}) = ...}\)
\(\displaystyle{ F_{t_{1}}(t_{1}) = 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}}.}\)
\(\displaystyle{ F_t_{2}}(t_{2}) = 1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.}\)
Dystrybuanta łączna:
\(\displaystyle{ F(t_{1}, t_{2}) = F_{t_{1}}\cdot F_{t_{2}}= ( 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}})(1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}})=...}\)
Proszę obliczyć prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P(\{t_{1} <t_{2}\}) = P(\{t_{1}- t_{2} <0\}) = ...}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Posiedziałem nad tym trochę i mam pytanie co do tego:
\(\displaystyle{ P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .}\)
Czy to jest na pewno nasze \(\displaystyle{ P(C)}\)? Podobno powinno ono wyjść 1/3 a nie 2/3.
\(\displaystyle{ P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .}\)
Czy to jest na pewno nasze \(\displaystyle{ P(C)}\)? Podobno powinno ono wyjść 1/3 a nie 2/3.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Prawdopodobieństwo zdarzenia:
\(\displaystyle{ \{(t_{1}, t_{2}): t_{1}\geq t_{2}, \ \ t_{1}, t_{2}>0 \}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}.}\)
\(\displaystyle{ \{(t_{1}, t_{2}): t_{1}\geq t_{2}, \ \ t_{1}, t_{2}>0 \}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
No tak wynika z tych obliczeń. Wynik całki oczywiście poprawny, jednak nie jestem przekonany czy sama całka podwójna sprawi że wynik będzie spełniał drugie kryterium.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Co to znaczy, że " czy sama całka sprawi, że wynik będzie spełniał drugie kryterium?"
Jeśli czas reakcji pierwszego ze strzelców będzie mniejszy od czasu reakcji drugiego, to wieksza jest szansa jego trafienia w tarczę.
Jeśli czas reakcji pierwszego ze strzelców będzie mniejszy od czasu reakcji drugiego, to wieksza jest szansa jego trafienia w tarczę.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 8 wrz 2017, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
No to rozumiem ale nie do końca wiem skąd takie granice całkowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Rozkład wykładniczy i strzelanie do celu
Rysujemy w układzie współrzędnych \(\displaystyle{ 0 t_{1} t_{2}}\) prostą \(\displaystyle{ t_{1}= t_{2}.}\) Całkujemy po półpłaszczyźnie otwartej \(\displaystyle{ t_{1}<t_{2}}\) leżącej poniżej prostej \(\displaystyle{ y = t_{2}}\) (proszę wykonać rysunek).